Cumpliendo la propiedad de cierre para el grupo cociente G/HG/HG/H

Esta es probablemente una pregunta súper simple... Solo quería asegurarme de que lo estoy pensando correctamente.

Estoy en el proceso de aprender sobre los grupos de cocientes en " Un libro de álgebra abstracta " de Pinter . Después de introducir la multiplicación de clases laterales (que denotaré como$*_{coset}$) para el conjunto$G/H$, dónde$H \triangleleft G$, Pinter quiere demostrar que el conjunto$G/H$, definido como$\{Ha, Hb, Hc, ...\}$, junto con$*_{coset}$, formar un grupo.

Realiza la rutina habitual para demostrar que un conjunto y una operación exhiben una estructura de grupo (asociatividad, identidad, inversa) pero no menciona el cierre . Miré a mi alrededor y encontré algunos otros ejemplos de personas que definían$\langle G/H, *_{coset} \rangle$como grupo... pero tampoco mencionan el cierre.

Porque$Ha *_{coset} Hb$, por definición, es igual$H(a\circ_G b)$, solo quería asegurarme de que la razón por la que Pinter ignora este paso es porque el cierre está implícito en la definición de la operación ... es decir,$a \circ_G b \in G$porque$G$es un grupo y$a,b \in G$. Por lo tanto,$H(a\circ_G b) \in G/H$... y por lo tanto el cierre está satisfecho.

¿Es ese el entendimiento correcto? Solo quería asegurarme de que no me estaba perdiendo algo.