Teorema fundamental del cálculo

Agregado.

La relación entre la integral definida y el cambio total de una función de acumulación se remonta mucho antes de Poisson, Cauchy o Riemann. Hay un buen resumen histórico en un artículo reciente de David M. Bressoud, Reflexiones históricas sobre la enseñanza del teorema fundamental del cálculo integral, publicado en el Monthly en febrero pasado. Puede encontrar una versión en el trabajo de Leibniz en 1693, donde escribe:

"Mostraré ahora que el problema general de las cuadraturas puede reducirse al hallazgo de una línea que tenga una ley de tangencia dada, es decir, para la cual los lados del triángulo característico tengan una relación mutua dada. Luego mostraré cómo esta línea puede ser descrita por un movimiento que he inventado".

"El problema de las cuadraturas" es el problema de encontrar áreas. La prueba de Leibniz, que es completamente geométrica (puedes encontrarla en el artículo de Bressoud) se deriva de la comprensión de áreas y tangentes como ciertas sumas y diferencias. Pero no se origina con Leibniz: Isaac Barrow dio una prueba en sus Lectiones geometricae (1670); y James Gregory da uno en su Geometriae pars universalis (1668). Gregory muestra que encontrar la longitud de una curva es equivalente a encontrar el área bajo una curva relacionada: muestra que hay una constante$c$, elegido en función de determinadas relaciones dadas, la longitud de la curva$y=f(x)$de$x=a$a$x=b$es igual al área bajo la curva$y=c\sqrt{1+(f'(x))^2}$(aunque, por supuesto, no expresado de esa manera). Luego trata con lo contrario: dado$y=g(x)$en$[a,b]$, encontrando una curva$y=u(x)$de modo que el área debajo de la$y=g(x)$es igual a la longitud de$y=u(x)$. El prueba que si

$$u(x) = \frac{1}{c}\int_a^x z(t)\,dt$$ entonces $z/c$describe la pendiente de la tangente a $u$; esto "contiene" el segundo FTC.

Incluso antes, la primera parte de lo que hizo Gregory había sido hecha por Hendrick van Heureat, publicada en 1659 en la edición de van Schooten de la Geometría de Descartes .

Newton, por el contrario, da una especie de "prueba dinámica" de la FTC; tiene sus raíces en el Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum (1350) de Oresme, en el que muestra que si representas la velocidad mediante una curva, entonces el área bajo la curva corresponde a la distancia recorrida (es decir, la integral de la derivada es igual a el cambio total de la función, la primera parte de la FTC).

Entonces, cuando Cauchy y Riemann dieron sus definiciones de integrales, la FTC (ambas partes) ya estaba "sobre la mesa"; tenían la responsabilidad de demostrar que sus definiciones implicaban a la FTC. Entonces, la FTC ya era "visible" para ellos (al igual que lo era para Lebesgue), no necesitaban formular hipótesis sobre el primer o segundo teorema, ni proponerlos. Solo tenían que demostrar que sus definiciones eran tales que los teoremas se sostenían para sus integrales. Al igual que Lebesgue necesitaba demostrar que su definición de integral coincidía con la de Riemann, donde ambos estaban definidos, pero eso no significaba que tuviera que idear la definición de integral de Riemann desde cero: ya estaba allí, solo necesitaba mostrar que su definición no cambió las propiedades anteriores.

---

Sí, hay versiones del Teorema Fundamental del Cálculo que se aplican a otros tipos de integrales. Un buen recurso es A Garden of Integrals , de Frank E. Burke. Las siguientes declaraciones están tomadas de allí.

La integral de Cauchy

La definición de integral de Cauchy (de 1823) es la siguiente:

Dada una función acotada$f$en$[a,b]$, dividir$[a,b]$en un número finito de subintervalos contiguos$[x_{k-1},x_k]$,$a= x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n=b$. La suma de Cauchy de$f$es

$$\sum_{k=1}^n f(x_{k-1})(x_k-x_{k-1}).$$ (Este es el equivalente de una evaluación de suma de la mano izquierda en el lenguaje actual). Nosotros decimos eso $f$es Cauchy-integrable en $[a,b]$si y solo si existe un numero $A$tal que por cada $\epsilon\gt 0$existe $\delta\gt 0$tal que para cualquier partición $P$de $[a,b]$cuyos subintervalos tienen una longitud menor que $\delta$, tenemos $$\left|\sum_{P} f(x_{k-1})(x_k-x_{k-1}) - A\right| \lt \epsilon.$$ Cauchy demostró que las funciones continuas son integrables con Cauchy, aunque esto no agota la clase. Tenemos las siguientes "FTC" para la integral de Cauchy:

FTC para la Integral de Cauchy. Si$F$es una función diferenciable en$[a,b]$, y$F'$es continua en$[a,b]$, entonces$F'$es Cauchy integrable en$[a,b]$y

$$C\int_a^x F'(t)\,dt = F(x)-F(a)$$ para cada $x$en $[a,b]$.

Aquí,$C\int$denota la integral de Cauchy.

FTC parte 2 para la Integral de Cauchy. Si$f$es una función continua en el intervalo$[a,b]$, y definimos una función$F$en$[a,b]$por$F(x) = C\int_a^xf(t)\,dt$, entonces$F$es diferenciable en$[a,b]$,$F' = f$en$[a,b]$, y$F$es absolutamente continua en$[a,b]$.

También tenemos un teorema de convergencia:

Convergencia para funciones integrables de Cauchy. Si$\{f_k\}$es una secuencia de funciones continuas que convergen uniformemente para$f$en$[a,b]$, entonces$f$es Cauchy integrable en$[a,b]$y$C\int_a^bf(x)\,dx = \lim C\int_a^b f_k(x)\,dx$.

La Integral de Riemann

La definición de la integral de Riemann es la habitual. Lebesgue demostró en 1902 que una función acotada en$[a,b]$es Riemann integrable en$[a,b]$si y solo si es continua en casi todas partes.

FTC para la Integral de Riemann. Si$F$es una función diferenciable en el intervalo$[a,b]$, y$F'$es acotado y continuo en casi todas partes en$[a,b]$, entonces$F'$es Riemann integrable en$[a,b]$, y

$$R\int_a^x F'(t)\,dt = F(x) - F(a)$$ para cada $x$en el intervalo $[a,b]$.

FTC parte 2 para la Integral de Riemann. Suponer$f$es una función acotada y continua en casi todas partes en el intervalo$[a,b]$. Dejar$F$en$[a,b]$ser definido por$F(x)=R\int_a^x f(t)\,dt$. Entonces$F$es absolutamente continua en$[a,b]$; si$f$es continua en$x_0\in[a,b]$, entonces$F$es diferenciable en$x_0$y$F'(x_0)=f(x_0)$; y$F'=f$Casi en cualquier parte.

Convergencia para funciones integrables de Riemann. Si$\{f_k\}$es una secuencia de funciones integrables de Riemann que convergen uniformemente a$f$en$[a,b]$, entonces$f$es Riemann integrable y$R\int_a^b f(x)\,dx = \lim R\int_a^b f_k(x)\,dx$.

Integral de Riemann-Stieltjes

Dejar$f$y$\phi$ser dos funciones acotadas en$[a,b]$. Nosotros decimos eso$f$es Riemann-Stieltjes integrable con respecto a$\phi$si y solo si existe un numero$A$tal que por cada$\epsilon\gt 0$existe un$\delta\gt 0$tal que

$$\left|\sum_{k=1}^n f(c_k)\bigl(\phi(x_k) - \phi(x_{k-1})\bigr) - A\right|\lt \epsilon$$ dónde $x_{k-1}\leq c_k\leq x_k$, para cada partición $P$de $[a,b]$cuyos subintervalos tienen una longitud menor que $\delta$. Nosotros escribimos $$RS\int_a^b f(x)d\phi(x) = A.$$

FTC para integrales de Riemann Stieltjes. Si$f$es continuo y$\phi$es diferenciable, con$\phi'$Riemann integrable en$[a,b]$, entonces

$$RS\int_a^b f(x)\,d\phi(x) = R\int_a^b f(x)\phi'(x)\,dx.$$

Teorema. Si$f$y$\phi$son funciones acotadas sin discontinuidades comunes en$[a,b]$, y la integral de Riemann-Stieltjes de$f$con respecto a$\phi$existe, entonces la integral de Riemann-Stieltjes de$\phi$con respecto a$f$existe, y

$$RS\int_a^b\phi(x)\,df(x) = f(b)\phi(b) - f(a)\phi(a) - RS\int_a^bf(x)\,d\phi(x).$$

FTC segunda parte para Riemann-Stieltjes Integrals. Si$f$es continua en$[a,b]$y$\phi$es monótona creciente en$[a,b]$, entonces$f$es Riemann-Stieltjes integrable con respecto a$\phi$. si definimos$F$en$[a,b]$por

$$F(x) = RS\int_a^x f(t)d\phi(t),$$ entonces $F$es continua en cualquier punto donde $\phi$es continuo; y $F$es diferenciable en cada punto donde $\phi$es diferenciable (casi en todas partes) y en tales puntos, $F' = f\phi'$.

Teorema de convergencia para integrales de Riemann-Stieltjes. Si$\{f_k\}$es una secuencia de funciones que convergen uniformemente a$f$en$[a,b]$y$\phi$es monótono aumentando en$[a,b]$, entonces el$f_k$es Riemann-Stieltjes integrable con respecto a$\phi$para cada$k$,$f$es Riemann-Stieltjes integrable con respecto a$\phi$, y

$$RS\int_a^bf(x)\,d\phi(x) = \lim RS\int_a^b f_k(x)\,d\phi(x).$$

Integral de Lebesgue

FTC para la Integral de Lebesgue. Si$F$es diferenciable, y la derivada$F'$está limitado en$[a,b]$, entonces$F'$es Lebesgue integrable en$[a,b]$y

$$\int_{[a,x]}F'\,d\mu = F(x)-F(a)$$ para $x$en $[a,b]$.

FTC de Lebesgue. Si$F$es absolutamente continua en$[a,b]$, entonces$F'$es Lebesgue integrable y

$$\int_{[a,x]} F'\,d\mu = F(x)- F(a)$$ para $x$en $[a,b]$.

FTC Parte 2 para la Integral de Lebesgue. Si$f$es Lebesgue integrable en$[a,b]$, y definimos$F$en$[a,b]$por$F(x) = \int_{[a,x]}f\,d\mu$, entonces$F$es absolutamente continua en$[a,b]$y$F'=f$casi en todas partes en$[a,b]$.

Teorema de la convergencia dominada. Si$\{f_k\}$es una secuencia de funciones integrables de Lebesgue que convergen puntualmente en casi todas partes para$f$en$[a,b]$, y$g$es una función integrable de Lebesgue tal que$|f_k|\leq g$en$[a,b]$, entonces$f$es Lebesgue integrable en$[a,b]$y

$$\int_{[a,b]}f\,d\mu = \lim \int_{[a,b]} f_k\,d\mu.$$

Integral de Henstock-Kurzweil

Una función$\delta\colon [a,b]\to (0,\infty)$se llama calibre en$[a,b]$. Una partición etiquetada de$[a,b]$es una colección finita de intervalos puntiagudos$(c_k,[x_{k-1},x_k])$, dónde$x_{k-1}\leq c_k\leq x_k$,$a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt\cdots\lt x_n=b$. Decimos una partición etiquetada de$[a,b]$es$\delta$bien si$c_k-\delta(c_k) \lt x_{k-1}\leq c_k \leq x_k \lt c_k+\delta(c_k)$.

Una función$f$en$[a,b]$se dice que es Henstock-Kurzweil integrable en$[a,b]$si hay un numero$A$tal que por cada$\epsilon\gt 0$existe una función positiva$\delta_{\epsilon}\colon [a,b]\to (0,\infty)$tal que para cualquier$\delta_{\epsilon}$-fina partición en$[a,b]$con$c_{k}-\delta_{\epsilon}(c_k) \lt x_{k-1}\leq c_k \leq x_{k}\lt c_k+\delta_{\epsilon}(c_k)$, tenemos:

$$\left|\sum_{k=1}^n f(c_k)(x_k-x_{k-1}) - A\right|\lt \epsilon.$$ En ese caso, escribimos $HK\int_a^b f(x)\,dx = A$.

FTC para la Integral Henstock-Kurzweil. Si$F$es continua en$[a,b]$y$F$es diferenciable en$[a,b]$con como máximo un número contable de puntos excepcionales, entonces$F'$es Henstock-Kurzweil integrable en$[a,b]$, y

$$HK\int_a^x F'(t)\,dt = F(x) - F(a)$$ para cada $x$en $[a,b]$.

FTC parte dos para Henstock-Kurzweil Integral. Si$f$es Henstock-Kurtzweil integrable en$[a,b]$, y definimos$F$por$F(x) = HK\int_a^x f(t)\,dt$, entonces$F$es continua en$[a,b]$,$F'=f$casi en todas partes, y$f$es Lebesgue medible.

Convergencia dominada para Henstock-Kurzweil Integral. Si$\{f_k\}$es una secuencia de funciones integrables de Henstock-Kurzweil que convergen puntualmente para$f$en$[a,b]$, y existen funciones integrables de Henstock-Kurzweil$\phi$y$\psi$tal que$\phi\leq f_k\leq \psi$para todos$k$, entonces$f$es Henstock-Kurzweil integrable y

$$HK\int_a^b f(x)\,dx = \lim HK\int_a^b f_k(x)\,dx.$$

---

Las integrales anteriores se dan en orden creciente de fuerza, en el siguiente sentido: si$f$es una función en$[a,b]$, entonces:

$$\begin{align*} f\text{ is Cauchy integrable on }[a,b] &\Longrightarrow f\text{ is Riemann integrable on }[a,b]\\ &\Longrightarrow f\text{ is Lebesgue integrable on }[a,b]\\ &\Longrightarrow f\text{ is Henstock-Kurzweil integrable on }[a,b] \end{align*}$$ y ninguna de las implicaciones es reversible. La integral de Riemann-Stieltjes (y su variante, la de Lebesgue-Stieltjes) no está incluida en la cadena de implicaciones, porque la integrabilidad allí depende tanto de la función $f$y la funcion $\phi$.

Solo tengo una respuesta parcial.

En primer lugar, trata de dibujar algunas figuras que puedan pertenecer a esos teoremas, luego no parecerán tan misteriosas.

Si una función$f:[a,b] \to \mathbf R$es Riemann integrable entonces es Lebesgue integrable y las integrales coinciden.

Si$f:[a,b] \to \mathbf R$está acotado entonces$f$es Riemann integrable si y solo si los puntos donde$f$es discontinuo en$(a,b)$es un conjunto nulo .

Por el contrario, si consideramos la segunda ecuación, de acuerdo con el teorema de diferenciación de Lebesgue obtenemos$f(x)$"Casi en cualquier parte".

Esto da una respuesta a su última pregunta.

Otro comentario es que para algunos problemas está bien pensar en una integral como el área bajo la curva, pero para un análisis más "avanzado" esto no es tan adecuado. Pienso en ellos como operadores lineales.

La siguiente respuesta puede ser algo sofisticada, pero presenta una prueba bastante intuitiva del teorema de diferenciación de Lebesgue basado en la propiedad de tipo débil (1,1) satisfecha por el operador maximal de Hardy-Littlewood. Más específicamente, el siguiente resultado se conoce como el teorema de diferenciación de Lebesgue:

Teorema de diferenciación de Lebesgue : para cualquier función localmente integrable$f$en$\mathbb{R}^n$tenemos

$\lim_{r\to 0} \frac{1}{\left|B(x,r)\right|} \int_{B(x,r)} f(y)dy = f(x)$

para casi todos$x\in \mathbb{R}^n$. En consecuencia tenemos$\left|f\right|\leq {\cal M}(f)$ae

La idea es que si podemos controlar al operador$T^{*}$definida por la regla$T^{*}(f)=\sup_{r>0} \left|\int_{B(x,r)} f(y)dy\right|$por un operador con buenas propiedades de acotación (p. ej., el operador maximal de Hardy-Littlewood), entonces podemos probar el teorema de diferenciación anterior. Más precisamente, probamos el teorema de diferenciación anterior para funciones continuas$f$con soporte compacto (esto es fácil), y luego usamos la densidad del espacio de funciones continuas de soporte compacto en$L^1$.

Intuitivamente, el "truco" es que las propiedades de acotación del operador$T^{*}$implican una cierta "condición de oscilación acotada" que nos permite probar el resultado para todas las funciones localmente integrables usando la validez del resultado para funciones continuas de soporte compacto. La explicación más precisa se puede encontrar en el "Análisis de Fourier clásico y moderno" de Loukas Grafakos, Capítulo 2, Sección 1, Teorema 2.1.14, página 86.

Me gusta mucho esta prueba del teorema de diferenciación porque usa la propiedad de tipo débil (1,1) del operador maximal de Hardy-Littlewood y se basa en un resultado que tiene varias aplicaciones (incluyendo la solución del problema de Dirichlet en la mitad superior espacio). Finalmente, proporciona amplia evidencia de la importancia del operador maximal de Hardy-Littlewood en el análisis armónico.