¿Por qué no funciona esta forma de calcular el momento de inercia de una esfera?

El momento de inercia se define con respecto a un eje , no a un punto. Por lo tanto, la distancia que necesita es desde un elemento de masa en la esfera hasta el$z$-eje, no al origen. Es por eso que se usa el método del disco: aprovecha la simetría. Tu expresión usa la distancia$r$al origen, mientras que la distancia al$z$eje en coordenadas esféricas es$r\sin \theta$(dónde$\theta$es el ángulo entre el$z$eje y el punto de interés).

La expresión correcta para un objeto esférico con densidad variable arbitrariamente en coordenadas esféricas es

$$\begin{eqnarray} I &=& \int_0^R {\rm d} r r^2 \int_0^{\pi} {\rm d\theta} \sin \theta \int_0^{2\pi}{\rm d}\phi \rho(r,\theta,\phi)\Delta(r,\theta,\phi)^2, \end{eqnarray}$$ dónde$\rho(r,\theta,\phi)$es la densidad y$\Delta(r,\theta,\phi)=r\sin\theta$es la distancia desde un elemento de masa en$r,\theta,\phi$hacia$z$eje.

Para completar, podemos resolver esto para una esfera de densidad constante,$\rho(r,\theta,\phi)=3 M/(4\pi R^3)$(nótese que el integrando no depende de$\phi$, entonces el$\phi$la integral es solo$2\pi$)

$$\begin{eqnarray} I &=& 2\pi \frac{3M}{4\pi R^3} \int_0^R {\rm d} r r^2 \int_0^{\pi} {\rm d\theta} \sin \theta\ \left(r \sin\theta\right)^2 \\ &=& \frac{3 M}{2 R^3} \int_0^R {\rm d} r r^4 \int_0^\pi {\rm d}\theta \sin^3 \theta \\ &=& \frac{3 M}{2 R^3} \times \frac{R^5}{5} \times \frac{4}{3} \\ &=& \frac{2}{5} MR^2 \end{eqnarray}$$

La respuesta de Andrew explica lo que está mal con tu razonamiento: la primera$r^2$debe ser reemplazado por sólo$x^2+y^2$, ya que el momento se basa en la distancia a la$xy$-eje, no la distancia al origen. Pero hay un truco ingenioso que podemos usar para aprovechar la simetría de la esfera: ya que no importa si usamos el$xy$-,$xz$-, o$yz$-eje, deberíamos obtener el mismo resultado para los tres:

$$I=\int_0^R (x^2+y^2)(4\pi r^2)\rho\,dr=\int_0^R (x^2+z^2)(4\pi r^2)\rho\,dr=\int_0^R (y^2+z^2)(4\pi r^2)\rho\,dr.$$

Si sumamos estas tres expresiones obtenemos

$$3I=\int_0^R (2x^2+2y^2+2z^2)(4\pi r^2)\rho\,dr=\int_0^R 2r^2(4\pi r^2)\rho\,dr.$$

Así que esto explica por qué el resultado correcto es precisamente$2/3$de lo que tienes (Este mismo truco también explica el$2/3$factor en el momento de inercia de una capa esférica.)

Esa es una buena pregunta bien formulada y la premisa es correcta: su enfoque independiente ha fallado. Falla porque estás usando$r$para la distancia de la masa de una capa esférica de radio$r$del eje. Pero esa es la distancia desde el centro, la fórmula en realidad debería usar la distancia desde la parte más cercana del eje a esa masa en particular.

Y desafortunadamente, su caparazón esférico no está a una distancia fija del eje. Las partes en los "polos" están muy cerca del eje, y las partes en el ecuador realmente están a la distancia máxima$r$. Así que realmente no puedes poner ningún número aquí, tendrás que cortar tu esfera en pedazos que estén a una distancia uniforme de tu eje (o pedazos como discos con momentos de inercia que ya conoces).

Un pequeño ajuste conceptual y su enfoque funciona:

La integral del momento de inercia se da como

$$I= \int (x^2 +y^2) dm$$

Aquí encuentro la inercia de la esfera sobre el$z$eje, pero eso es lo mismo que encontrar la inercia de la esfera sobre cualquier otro eje. Podemos sumar y restar$\int z^2 dm$:

$$I= \int (x^2 + y^2 +z^2) dm - \int z^2 dm = \frac{3}{5} mr^2 - \int z^2 dm$$

La simplificación anterior utilizó el hecho de que$x^2 +y^2 +z^2= r^2$, es decir: el radio esférico.

Debido a la simetría de la esfera, podemos argumentar que$\int x^2 dm = \int y^2 dm = \int z^2 dm$, por eso$\int z^2 dm = \frac{I}{2}$:

$$I = \frac35 mr^2 - \frac{I}{2}$$

O,

$$I = \frac{2}{5} mr^2$$ QED

Desde$V=\int_0^R (4\pi r^2) \space dr$produce la fórmula correcta para el volumen de una esfera, el problema está en otra parte. Es decir, en el$r^2$factor dentro de la integral de volumen.

El problema es que el MMOI se mide por la distancia perpendicular de una partícula a un eje. Entonces el$r^2$factor dentro de la integral es incorrecto, ya que utilizó la distancia radial y no la distancia perpendicular.

La forma correcta de integrar es considerar coordenadas esféricas y usar

$$V = \int_0^R \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^{2 \pi} ( r^2 \cos \psi) \space {\rm d}\varphi \space {\rm d}\psi \space {\rm d} r = \frac{4}{3} \pi R^3$$

y desde$m = \rho V$el tensor MMOI es

$$\mathrm{I} = \frac{m}{V} \int_0^R \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2 \pi \begin{bmatrix} \frac{ r^4 \cos \psi (\sin^2 \psi+1)}{2} & & \\ & r^4 \cos^3 \psi & \\ & & \frac{ r^4 \cos \psi (\sin^2 \psi+1)}{2} \end{bmatrix} (2 \pi r^2 \cos \psi)\space {\rm d}\psi \space {\rm d} r$$

$$\mathrm{I} = \frac{m}{V} \begin{bmatrix} \frac{8}{15} \pi R^5 & & \\ & \frac{8}{15} \pi R^5 & \\ & & \frac{8}{15} \pi R^5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{5} m R^2 & & \\ & \frac{2}{5} m R^2 & \\ & & \frac{2}{5} m R^2 \end{bmatrix}$$

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La definición del tensor MMOI a partir de la integral de volumen es

$$I = \frac{m}{V} \int \begin{bmatrix} y^2+z^2 & -x y & -x z \\ -x y & x^2+z^2 & -y z \\ -x z & -y z & x^2+y^2 \end{bmatrix} {\rm d}V$$

y la posición en coordenadas esféricas es

$$\pmatrix{x \\ y \\ z} = \pmatrix{ r \cos \psi \cos \varphi \\ r \sin \psi \\ r \cos \psi \sin \varphi}$$