Momento de inercia de los movimientos radiales

Question

Momento de inercia de los movimientos radiales

Física
momento de inercia
mecanica clasica
mecanica-newtoniana
dinámica de cuerpo rígido

Cham

Estoy buscando algunas referencias sobre un momento de inercia específico, para movimientos radiales de un cuerpo esférico . En mis cálculos, obtuve esta integral:

\begin{matrix} (1) & \bar{I} = \int r^{2} d metro = \int_{V} ρ (r) r^{2} d^{3} X, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{1} \bar{I} = \int r^2 \, dm = \int_{\mathcal{V}} \rho(r) \, r^2 \, d^3 x, \end{equation}$ dónde

ρ

$\rho$ es la densidad de la materia y

r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}

$r^2 = x^2 + y^2 + z^2$ define la coordenada radial habitual (el origen de coordenadas se encuentra en el centro del cuerpo esférico). Para una distribución de masa uniforme, esta integral es fácil de hacer:

\begin{matrix} (2) & \bar{I} = \frac{3}{5} METRO R^{2} . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{2} \bar{I} = \frac{3}{5} \; M R^2. \end{equation}$ Por favor, no confundas esto con el conocido momento de inercia de la esfera, alrededor de algún eje de rotación . Se trata de movimientos radiales , y no de rotación.

Nunca vi esto en ningún libro sobre mecánica.

Observe que la expresión (1) anterior también es la mitad de la traza del tensor de inercia:

\begin{matrix} (3) & I_{i j} = \int_{V} (r^{2} d_{i j} - X_{i} X_{j}) ρ d^{3} X, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{3} I_{ij} = \int_{\mathcal{V}} (r^2 \, \delta_{ij} - x_i \, x_j) \, \rho \; d^3 x, \end{equation}$ Entonces tenemos esto:

\begin{matrix} (4) & \bar{I} \equiv \frac{1}{2} I_{k k} . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{4} \bar{I} \equiv \frac{1}{2} \; I_{kk}. \end{equation}$

No estoy seguro de que el "momento de inercia radial" definido por (1) (si tiene una interpretación adecuada) esté obteniendo el factor correcto.

Tiene alguna idea sobre esto ?

Martín Uding

¿No es el "movimiento radial" solo un simple centro de movimiento de masa y el "momento de inercia" es solo la masa

M

$M$ de esa esfera?

Cham

@MartinUeding, no estoy seguro. Imagina una esfera uniforme en el centro de tu sistema de origen. Dale un poco de movimiento radial (compresión, dilatación, oscilaciones), sin romper la simetría esférica. Creo que la integral (1) mide su inercia para tales movimientos radiales.

jerbo sammy

¿Qué significado físico crees que tiene la cantidad física en las ecuaciones (1) o (2)? ¿Puedes escribir una ecuación que lo use? por ejemplo, algo similar a

L = I ω

$L = I\omega$ relacionar el momento angular y la velocidad angular. ¿O tal vez esta es la pregunta que nos está pidiendo que respondamos? El hecho de que pueda escribir una definición matemática no significa que tenga algún significado físico.

Cham

@sammygerbil, está relacionado con la energía y las oscilaciones radiales de la esfera:

\bar{I} \frac{d^{2} d R}{d t^{2}} = (3 γ - 4) tu d R,

$\begin{equation} \bar{I} \; \frac{d^2 \delta R}{d t^2} = (3 \gamma - 4) \, U \, \delta R,\end{equation}$ dónde

γ

$\gamma$ es el índice adiabático del material y

U

$U$ es la energía potencial de la esfera.

\bar{I}

$\bar{I}$ es el "momento de inercia radial" que definí anteriormente.

R

$R$ es el radio de toda la esfera, y

δ R = R - R_{0}

$\delta R = R - R_0$ es su variación (relativa al valor de equilibrio

R_{0}

$R_0$ ) cambiando en el tiempo debido a la gravedad y la presión interna.

usuario121330

¿Qué entiendes por movimiento radial? La traslación y la rotación describen completamente el movimiento de un objeto a menos que estés examinando la deformación del objeto, que es una bolsa entera de gusanos. Si tenemos un segundo objeto, sus movimientos pueden describirse, por ejemplo, por el movimiento relativo de los cuerpos, sus rotaciones y el movimiento del sistema. ¿Cuántos cuerpos y en qué dirección podrían estar moviéndose?

Cham

@user121330, ¡movimientos radiales de una esfera! Solo imagina una esfera pulsante (expandiéndose y/o contrayéndose).

exmachina

Creo que un poco más de contexto podría ser útil. Te refieres a una esfera pulsante uniforme, como en una estrella pulsante (no un cuerpo rígido), ¿verdad? En este caso, la velocidad de un punto es

v_{i} = \dot{ϵ} x_{i}

$v_i=\dot\epsilon x_i$ , y la energía cinética en un volumen

d V

$dV$ es

ρ v^{2} d V / 2

$\rho v^2 dV/2$ dónde

d \bar{I} = ρ v^{2} d V

$d\bar I=\rho v^2 dV$ es su "momento pulsátil de inercia" de elemento, donde

v^{2} = {\dot{ϵ}}^{2} x_{i}^{2}

$v^2=\dot\epsilon^2 x_i^2$ . Si quieres comparar esto con rotaciones, recuerda que

\vec{v} = \vec{ω} \times \vec{r}

$\vec v=\vec\omega\times\vec r$ , y puedes expandir esto como

ρ v^{2} d V = I_{i j} x_{i} x_{j}

$\rho v^2 dV=I_{ij}x_i x_j$ . Las derivaciones son similares; cabría esperar alguna relación entre

\bar{I}

$\bar I$ y yo.

Cham

@exmachina, tu cálculo parece ser similar al mío. Entonces, ¿obtienes la misma ecuación que la de mi comentario anterior? Esta esfera pulsante debería estar expuesta en alguna parte. ¿Alguna referencia para esto?

usuario121330

Así que estás mirando un objeto que se está deformando... ¿Qué estás tratando de determinar? ¿El movimiento de una partícula en un medio? ¿El volumen (/radio/área de la superficie) de la esfera en función del tiempo?

Cham

@user121330, el radio de la esfera en función del tiempo. Ya tengo la ecuación diferencial (dado en un mensaje de arriba). Simplemente me preguntaba acerca de este "momento radial de inercia".

exmachina

@Cham Una búsqueda adecuada en Google debería darte algo. Véase, por ejemplo, la ecuación. (6) en pág. 139 aquí: adsabs.harvard.edu/full/1954AJ.....59..137H donde el autor da la

\frac{3}{5} M R^{2}

$\frac 35 MR^2$ expresión para un cuerpo esférico. Esta relación con la traza de la matriz de inercia rotacional se debe a que ambas están relacionadas con cuadrados/productos de coordenadas y

r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}

$r^2=x^2+y^2+z^2$ es la única combinación escalar de ellos. Sin embargo yo y

\bar{I}

$\bar I$ tienen significados físicos muy diferentes.

Cham

@exmachina, ¡entonces este es precisamente el sentido de mi pregunta! ¿Cuál es el significado físico de

\bar{I}

$\bar{I}$ ? (que llamé el "momento de inercia radial, ya que está relacionado con la traza del tensor de inercia).

Cham

@exmachina, tenga en cuenta que la ecuación (13) en el documento al que hace referencia es similar (pero no idéntica) a la ecuación en mi segundo mensaje anterior. Mi ecuación es más general ya que se trata de una nube esférica politrópica de gas (es decir, una estrella) de índice adiabático

γ

$\gamma$ . Mi ecuación muestra que una estrella hecha de gas relativista;

γ = \frac{4}{3}

$\gamma = \frac{4}{3}$ , es inestable. Si

γ < \frac{4}{3}

$\gamma < \frac{4}{3}$ , la estrella implosionará o explotará (ya que

U < 0

$U < 0$ ).

Juan Alexiou

¿Cómo puede haber un momento de inercia sin ninguna rotación? Sin rotación => Sin momento angular => Sin MMOI. Debe proporcionar más contexto en la pregunta o agregar algunos enlaces donde esto

I

$I$ se usa

Respuestas (2)

Momento de inercia de los movimientos radiales

¿No es el "movimiento radial" solo un simple centro de movimiento de masa y el "momento de inercia" es solo la masa $M$ de esa esfera?
@MartinUeding, no estoy seguro. Imagina una esfera uniforme en el centro de tu sistema de origen. Dale un poco de movimiento radial (compresión, dilatación, oscilaciones), sin romper la simetría esférica. Creo que la integral (1) mide su inercia para tales movimientos radiales.
¿Qué significado físico crees que tiene la cantidad física en las ecuaciones (1) o (2)? ¿Puedes escribir una ecuación que lo use? por ejemplo, algo similar a $L = I\omega$ relacionar el momento angular y la velocidad angular. ¿O tal vez esta es la pregunta que nos está pidiendo que respondamos? El hecho de que pueda escribir una definición matemática no significa que tenga algún significado físico.
@sammygerbil, está relacionado con la energía y las oscilaciones radiales de la esfera: $\bar{I} \frac{d^{2} d R}{d t^{2}} = (3 γ - 4) tu d R,$ $\begin{equation} \bar{I} \; \frac{d^2 \delta R}{d t^2} = (3 \gamma - 4) \, U \, \delta R,\end{equation}$ dónde $\gamma$ es el índice adiabático del material y $U$ es la energía potencial de la esfera. $\bar{I}$ es el "momento de inercia radial" que definí anteriormente. $R$ es el radio de toda la esfera, y $\delta R = R - R_0$ es su variación (relativa al valor de equilibrio $R_0$ ) cambiando en el tiempo debido a la gravedad y la presión interna.
¿Qué entiendes por movimiento radial? La traslación y la rotación describen completamente el movimiento de un objeto a menos que estés examinando la deformación del objeto, que es una bolsa entera de gusanos. Si tenemos un segundo objeto, sus movimientos pueden describirse, por ejemplo, por el movimiento relativo de los cuerpos, sus rotaciones y el movimiento del sistema. ¿Cuántos cuerpos y en qué dirección podrían estar moviéndose?
@user121330, ¡movimientos radiales de una esfera! Solo imagina una esfera pulsante (expandiéndose y/o contrayéndose).
Creo que un poco más de contexto podría ser útil. Te refieres a una esfera pulsante uniforme, como en una estrella pulsante (no un cuerpo rígido), ¿verdad? En este caso, la velocidad de un punto es $v_i=\dot\epsilon x_i$ , y la energía cinética en un volumen $dV$ es $\rho v^2 dV/2$ dónde $d\bar I=\rho v^2 dV$ es su "momento pulsátil de inercia" de elemento, donde $v^2=\dot\epsilon^2 x_i^2$ . Si quieres comparar esto con rotaciones, recuerda que $\vec v=\vec\omega\times\vec r$ , y puedes expandir esto como $\rho v^2 dV=I_{ij}x_i x_j$ . Las derivaciones son similares; cabría esperar alguna relación entre $\bar I$ y yo.
@exmachina, tu cálculo parece ser similar al mío. Entonces, ¿obtienes la misma ecuación que la de mi comentario anterior? Esta esfera pulsante debería estar expuesta en alguna parte. ¿Alguna referencia para esto?
Así que estás mirando un objeto que se está deformando... ¿Qué estás tratando de determinar? ¿El movimiento de una partícula en un medio? ¿El volumen (/radio/área de la superficie) de la esfera en función del tiempo?
@user121330, el radio de la esfera en función del tiempo. Ya tengo la ecuación diferencial (dado en un mensaje de arriba). Simplemente me preguntaba acerca de este "momento radial de inercia".
@Cham Una búsqueda adecuada en Google debería darte algo. Véase, por ejemplo, la ecuación. (6) en pág. 139 aquí: adsabs.harvard.edu/full/1954AJ.....59..137H donde el autor da la $\frac 35 MR^2$ expresión para un cuerpo esférico. Esta relación con la traza de la matriz de inercia rotacional se debe a que ambas están relacionadas con cuadrados/productos de coordenadas y $r^2=x^2+y^2+z^2$ es la única combinación escalar de ellos. Sin embargo yo y $\bar I$ tienen significados físicos muy diferentes.
@exmachina, ¡entonces este es precisamente el sentido de mi pregunta! ¿Cuál es el significado físico de $\bar{I}$ ? (que llamé el "momento de inercia radial, ya que está relacionado con la traza del tensor de inercia).
@exmachina, tenga en cuenta que la ecuación (13) en el documento al que hace referencia es similar (pero no idéntica) a la ecuación en mi segundo mensaje anterior. Mi ecuación es más general ya que se trata de una nube esférica politrópica de gas (es decir, una estrella) de índice adiabático $\gamma$ . Mi ecuación muestra que una estrella hecha de gas relativista; $\gamma = \frac{4}{3}$ , es inestable. Si $\gamma < \frac{4}{3}$ , la estrella implosionará o explotará (ya que $U < 0$ ).
¿Cómo puede haber un momento de inercia sin ninguna rotación? Sin rotación => Sin momento angular => Sin MMOI. Debe proporcionar más contexto en la pregunta o agregar algunos enlaces donde esto $I$ se usa

Juan Alexiou · Answer 1

Por supuesto que es la mitad del rastro. Dados los tres componentes principales en algún sistema de coordenadas son

\begin{aligned} I_{X X} & = \int (y^{2} + z^{2}) d metro \\ I_{y y} & = \int (z^{2} + X^{2}) d metro \\ I_{z z} & = \int (X^{2} + y^{2}) d metro \end{aligned}

$\begin{align} I_{xx} & = \int (y^2+z^2) {\rm d}m \\ I_{yy} & = \int (z^2+x^2) {\rm d}m \\ I_{zz} & = \int (x^2+y^2) {\rm d}m \end{align}$

Súmalos para obtener

I_{X X} + I_{y y} + I_{z z} = \int (2 X^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2}) d metro

$I_{xx}+ I_{yy}+I_{zz} = \int (2 x^2+2 y^2+2 z^2) {\rm d}m$

que es el doble del valor en su definición de

I_{r a d i a yo} = \int (X^{2} + y^{2} + z^{2}) d metro

$I_{radial} = \int ( x^2+y^2+ z^2) {\rm d}m$

La pregunta más importante aquí es, ¿cómo se deriva lo anterior y cómo se usa ? Creo que el OP debe proporcionar más detalles para que la pregunta se responda de manera efectiva.

Encontré el "momento de inercia radial" $\bar{I}$ escribiendo la ecuación diferencial de una estrella que pulsa radialmente . La cantidad $\bar{I}$ ingresé a mi ecuación como un factor de inercia frente a una segunda derivada temporal (de la ecuación de Newton), por lo que me preguntaba cuál sería su significado físico adecuado.
Si hay un significado físico, entonces no es MMOI o algo relacionado.

gdbb89 · Answer 2

El momento de inercia es la medida de la resistencia a la aceleración angular alrededor de un eje. Si no me equivoco, lo que buscas es el módulo de elasticidad. $E$ (o relación de Poisson $\nu$ ) del objeto. Eso dicta la respuesta al movimiento radial dado un campo de presión uniforme que actúa sobre la superficie de la esfera.

Tenga en cuenta que la integral que definí para los movimientos radiales es la traza del tensor de inercia para cualquier rotación. ¿El módulo de elasticidad está relacionado con el tensor de inercia?
No, no está relacionado con el tensor de inercia, pero tampoco lo está el movimiento radial. El módulo de elasticidad es una propiedad del material y se define como la relación entre la tensión y la deformación de un material determinado. Simplemente no puede cuantificar la resistencia a la deformación axial (o radial) utilizando un tensor de momento de inercia.
Por qué no ? En mis cálculos, obtuve esa integral radial (que es la traza del tensor de inercia, por alguna coincidencia). Así que creo firmemente que la integral tiene algo que decir sobre la "resistencia" del movimiento radial (es decir, la inercia).

Momento de inercia de los movimientos radiales

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gdbb89

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¿Qué es más rápido? ¿Rodar puro o rodar con deslizamiento?

¿Se puede encontrar de esta manera el momento angular de cualquier cuerpo rígido (simétrico o asimétrico)?

¿Puede explicar intuitivamente el período de tiempo de oscilación decreciente con el aumento de la longitud del péndulo en algunos casos?

¿Cuál es el problema de tener un tensor de inercia que no satisface la desigualdad del triángulo?

¿Cómo probamos la existencia del eje instantáneo de rotación?

Momento de inercia significado?

Momento de inercia de la esfera en órbita

Integración de movimiento rotacional (Dinámica de cuerpo rígido)

¿Por qué un paralelepípedo gira de manera estable alrededor de dos ejes pero no del tercero?

¿Por qué el momento de inercia debe ser una transformación lineal?