¿Qué es más rápido? ¿Rodar puro o rodar con deslizamiento?

El escenario del resbalón provocó una caída más rápida.

Menos energía se convierte en energía cinética de rotación si hay deslizamiento y, por lo tanto (por conservación de la energía), más se convierte en energía cinética de traslación, que es una medida de la velocidad de caída.

Para una pendiente razonablemente larga, rodar suele ser la opción más rápida.

Digamos que tenemos una pendiente de una altura fija. Sabemos que una vez que el objeto se ha deslizado o rodado por la pendiente, la energía potencial de la gravedad se pierde. Esta energía termina dividida entre tres lugares: (1) La energía cinética lineal de la pelota. (2) la energía cinética de rotación de la pelota y (3) el calor de la fricción.

Una vez que la pelota está rodando, su superficie que toca la pendiente no roza contra ella en absoluto. Así que no se pierde energía por esta fricción. Permanecerán pequeñas pérdidas por fricción del mundo real no ideal (aspereza y aire), pero probablemente podamos ignorarlas y decir que una vez que la pelota está rodando, no pierde energía con el tiempo debido a la fricción.

Entonces, si comparamos una bola rodante con un bloque deslizante. La pelota tiene que pagar una factura de energía por adelantado para comenzar a rodar (invirtiendo en su energía de rotación), por lo que tiene menos energía cinética lineal debido a esto. El bloque evita esto, pero por otro lado, paga en energía cinética todo el camino cuesta abajo a medida que se desliza hacia abajo. Es un pago único frente a un costo continuo.

Para una pendiente más larga o un coeficiente de fricción más alto, el pago único (rodante) tiene la ventaja.

tienes esas dos ecuaciones:

en caso de rodadura pura es$~\ddot s=r\,\ddot\theta~$y en caso de rodadura parcial$~F_r=\mu\,m\,g\cos(\alpha)~$

balanceo puro

balanceo parcial

por lo tanto (con$~I_\theta=m\,r^2$)

entonces el balanceo parcial es más rápido que el balanceo puro

Para la pelota (una esfera sólida), con deslizamiento, la aceleración del Centro de Masa (CM) del cuerpo es$\ddot x_c = g(sin(\theta) - \mu cos(\theta))$dónde$x_c$es la aceleración del CM,$\mu$es el coeficiente de fricción, y$\theta$es el ángulo de la pendiente. Si$\mu$excede${2 \over 7} tan(\theta)$, la carrocería rueda sin resbalar.$\ddot x_c$es menor cuando$\mu$es este valor más alto, específicamente$\ddot x_c = {5 \over 7} g sin(\theta)$. Para cualquier más pequeño$\mu$,$\ddot x_c$será más alto.

La bola resbala o no dependiendo de los valores de$\mu$y$\theta$; no puede resbalar, ni rodar sin resbalar, para las mismas condiciones. Por ejemplo, para un fijo$\theta$, la pelota resbala a menos que$\mu$es suficientemente alto.

Por lo tanto, no puede comparar los dos casos, deslizarse y rodar sin deslizarse, para las mismas condiciones; solo ocurrirá uno. Si comparas una pendiente con una$\mu$suficientemente bajo para causar deslizamiento a una pendiente con el mismo ángulo de inclinación pero una superficie diferente que tiene una$\mu$lo suficientemente alto como para hacer que ruede, la aceleración para el caso deslizante es mayor que para el caso rodante y la bola alcanzará la parte inferior de la pendiente antes para el caso deslizante.

Nota: Sin fricción$\mu$es cero y la aceleración es$\ddot x_c = gsin(\theta)$, el valor máximo.

(Consulte el texto Analytical Mechanics de Fowles para obtener una derivación detallada de las relaciones utilizadas anteriormente).

Esta respuesta asume un cuerpo perfectamente rígido para el cual no hay efectos de calentamiento. Consulte Enfoque consistente para calcular el trabajo por fricción para un cuerpo rígido en movimiento plano .

En realidad, se produce un calentamiento por fricción y, a lo largo de una larga distancia, el caso de deslizamiento se ralentizaría, por lo que mi respuesta es para deslizarse en un camino relativamente corto cuesta abajo. Dado que ningún cuerpo es perfectamente rígido, como señala @Dast, si el calentamiento (aumento de la energía interna de la bola) es importante, la caja rodante puede ser más rápida.

Respuesta adicional al comentario del interrogador sobre la cinta en parte en la pendiente.

La aceleración disminuye al aumentar$\mu$, y$\mu$es mayor para rodadura pura que para rodadura con deslizamiento. Así que si la cinta tiene suficiente$\mu$para permitir el rodado puro, y parte de la pendiente tiene la cinta y parte no tiene cinta para permitir el deslizamiento, la bola llegará al fondo de la pendiente más rápido que si la pendiente tiene la cinta hasta el final y solo se produce un rodado puro. Nuevamente, esto supone un cuerpo perfectamente rígido (sin calentamiento).