Emisión Integral por Inercia de Disco

Question

Emisión Integral por Inercia de Disco

inercia
Física
integración
momento de inercia
mecanica clasica

Andrés

Actualmente estoy siguiendo la "Mecánica clásica" de Taylor y estoy tratando de entender cómo crear las integrales correctas para resolver algunos problemas relacionados con la inercia de varias formas. Debo encontrar el momento de inercia de un disco uniforme de masa M y radio R alrededor de su eje, reemplazando la ecuación:

I = \sum {metro}_{α} r_{α}^{2}

$I = \sum m_{\alpha}\ r_{\alpha}^2$

con la integral adecuada y haciendo la integral en coordenadas polares.

Mi respuesta fue la siguiente:

$\begin{matrix} (1) & I = \sum {metro}_{α} r_{α}^{2} \Rightarrow \int_{0}^{METRO} d metro \int_{0}^{R} r d r \end{matrix}$ $I = \sum m_{\alpha}\ r_{\alpha}^2\\ \tag{1}\label{1} \Rightarrow \int_0^M \ dm \int^R_0 r dr$ Disco uniforme por lo que:
$d metro = ρ d V$ $dm = \rho dV \\$ dónde $\int d V = \int \int \int d X d y d z = \int_{0}^{R} r d r \int_{0}^{2 π} d ϕ \int_{0}^{D} d z \Rightarrow d metro = ρ 2 π D \frac{R^{2}}{2}$ $\int dV = \int \int\int dxdydz\\ = \int^R_0 r dr \int^{2\pi}_0 d\phi \int^D_0dz\\ \Rightarrow dm = \rho 2\pi D\frac{R^2}{2}$ Luego formulo la ecuación en términos de la integral de los elementos de volumen en lugar de los elementos de masa: $I = \int_{0}^{METRO} d metro \int_{0}^{R} r d r = ρ π D R^{2} \int_{0}^{R} r d r = ρ π D \frac{R^{4}}{2}$ $I = \int_0^M \ dm \int^R_0 r dr\\ = \rho \pi DR^2\int^R_0 r dr\\ = \rho \pi D\frac{R^4}{2}$ Finalmente:
$ρ = \frac{METRO}{V_{d i s C}} = \frac{METRO}{π R^{2} D} \Rightarrow I = \frac{1}{2} METRO R^{2}$ $\rho = \frac{M}{V_{disc}}\\ = \frac{M}{\pi R^2D}\\ \Rightarrow I = \frac{1}{2} MR^2$

Leí la respuesta ideal para esto y tenía algunas preguntas comparando mi respuesta con ella. En $\eqref{1}$ , la respuesta ideal es:

I = \sum {metro}_{α} ρ_{α}^{2} \Rightarrow \int_{0}^{METRO} r^{2} d metro

$I = \sum m_{\alpha}\ \rho_{\alpha}^2\\ \Rightarrow \int_0^M r^2 dm$ P.1) ¿Por qué solo la masa se cambia a un elemento de masa y la variable de distancia se mantiene intacta en la respuesta ideal? Pensé que tendría que convertirse en una integral mientras la sumaba.
P.2) En mi respuesta, la variable r se evalúa en dos integrales separadas y luego se multiplica, mientras que en la respuesta correcta sería una integral con

r^{3}

$r^3$ como la variable, ¿da esto la misma respuesta en general?
P.3) Por último, entiendo pasar de

m_{α}

$m_{\alpha}$ y

r_{α}

$r_{\alpha}$ a dm y dr, ya que es como sumar infinitas masas y radios infinitamente pequeños, pero la intuición detrás de dejar una r en la integral en

(1)

$\eqref{1}$ me confundió un poco, como por qué solo uno

r_{α}

$r_{\alpha}$ convertirse en dr?

Sé que estas son preguntas muy básicas, pero realmente me gustaría tener una sólida comprensión del uso de integrales en problemas como este, ya que es un punto débil mío, y la intuición me será útil más adelante. ¡Gracias por cualquier ayuda de antemano!

Respuestas (1)

Emisión Integral por Inercia de Disco

Urb. · Answer 1

La clave al cambiar sumas discretas a integrales es preguntarse qué cosas en la integral deben ser pequeñas y cuáles pueden ser grandes. En el caso del momento de inercia alrededor de un eje, la fórmula

I = \sum_{i = 1}^{norte} {metro}_{i} r_{i}^{2}

$I=\sum_{i=1}^Nm_i r_i^2$

es válido para el caso de $N$ partículas puntuales, con $m_i$ la masa de la i- ^ésima partícula y $r_i$ su distancia al eje. Si uno quiere ahora considerar un cuerpo continuo como un disco, la estrategia es pensar en el disco como si estuviera hecho de infinitas piezas pequeñas e integrándose sobre el volumen del disco.

Ahora imagine una pequeña pieza del disco. Dado que es infinitesimalmente pequeño, debe tener una masa infinitesimalmente pequeña, por lo que el cambio $m_i\to dm$ es apropiado. Pero ahora, ese pequeño trozo de masa podría estar en cualquier parte del disco; podría estar muy cerca del eje o tan lejos como $r=R$ del eje. Y de hecho, como integramos sobre todo el volumen del disco, estaremos considerando diferentes piezas en el cuerpo, cada una de ellas con una masa pequeña, pero cada una de ellas a diferentes distancias del eje, por lo que el cambio $r\to dr$ no es apropiado. Escribe entonces el integrando como $r^2dm$ y sustituir $dm=\rho\ dV=\rho\ rdr\,d\varphi\, dz$ . Terminarás con solo una integral en coordenadas polares cilíndricas

\begin{matrix} (1) & I = \int ρ r^{3} d r d φ d z . \end{matrix}

$I=\int \rho r^3 dr d\varphi dz.\tag{1}$

En cuanto a por qué su método funciona para este caso particular, es solo una coincidencia. Tenga en cuenta que si se escribiera el momento de inercia como

\begin{matrix} (*) & \int_{0}^{METRO} d metro \int_{0}^{R} r d r, \end{matrix}

$\int_0^M \ dm \int^R_0 r dr,\tag{*}$ entonces siempre sería igual a

M R^{2} / 2

$MR^2/2$ , independientemente de la distribución de masa

ρ (r)

$\rho(\mathbf r)$ en el disco Como ejercicio, puede calcular el momento de inercia de un disco con una distribución de masa

ρ (r) = ρ_{0} r

$\rho(\mathbf r)=\rho_0 r$ que crece linealmente con la distancia al eje, usando

(1)

$(1)$ y

(*)

$(*)$ y compruebe que son diferentes. Elegir

ρ_{0}

$\rho_0$ de modo que la masa total del disco es

M

$M$ .

Entonces, debido a que los valores de masa en cada pequeña sección son siempre infinitesimalmente pequeños, pero la distancia desde el eje de estas "masas" puede ser grande, ¿no tomamos r→dr? Además, muchas gracias por la explicación, ¡estuvo bien explicado!

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Andrés

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Urb.

Andrés

Urb.

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