¿Cómo calcular el momento de inercia de un cubo sólido? [cerrado]

Primero debe definir la orientación del cubo en relación con el eje que desea medir. Por lo general, una matriz de rotación de 3 × 3$E$hace el trabajo de transformar las coordenadas locales a lo largo de los ejes principales a las coordenadas mundiales. El uso de la transformación$E I_{body} E^\intercal$

Ejemplo:

Una sola rotación$\theta$Acerca del mundo$z$el eje es

$$E = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Si la matriz de momento de inercia de masa con respecto a los ejes principales$(x,y,z)$es

$$I_{body} = \begin{vmatrix} I_{xx} & & \\ & I_{yy} & \\ & & I_{zz} \end{vmatrix}$$

entonces el momento de inercia de la masa con respecto a las coordenadas del mundo es

$$I_{world} = E\,I_{body}\, E^\intercal$$

dónde$E^\intercal$es la rotación inversa encontrada por el operador de transposición. El resultado es

$$I_{world} = \begin{vmatrix} I_{yy}+(I_{xx}-I_{yy})\cos^2\theta & (I_{xx}-I_{yy})\sin\theta\cos\theta & 0\\ (I_{xx}-I_{yy})\sin\theta\cos\theta & I_{xx}+(I_{yy}-I_{xx})\cos^2\theta & 0\\ 0 & 0& I_{zz} \end{vmatrix}$$

Esto representa el momento de inercia de la masa sobre las tres coordenadas mundiales. Para obtener el MMOI sobre un eje específico$\hat{e}$tu calculas

$$I_{ee} = \hat{e}^\intercal I_{world} \hat{e}$$

Entonces, para obtener el MMOI sobre el mundo$X$eje con$\hat{e}=(1,0,0)$encuentras eso

$$I_{XX} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \end{pmatrix} I_{world} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = I_{yy}+(I_{xx}-I_{yy})\cos^2\theta$$

Alternativamente puedes encontrar las coordenadas locales del mundo$X$eje como$\hat{x} = E^\intercal \hat{e}$y luego calcular

$$\boxed{ I_{XX} = \hat{x}^\intercal I_{body} \hat{x} }$$

El momento de inercia se puede definir como la integral de volumen de la densidad multiplicada por el vector de posición (centrado en el origen del eje que elija):

$$I_{obj}=\int dV\,\rho\left(\mathbf{r}\right)\mathbf{r}^2$$ que debería funcionar siempre.

En cuanto a sus otras preguntas, si tuviéramos un cilindro delgado y sólido y lo rotamos sobre su punto final:

El momento de inercia seria

$$I_{cyl,end}=\frac13mL^2$$ Si tomamos la misma varilla y la giramos sobre su centro,

Entonces el momento de inercia termina siendo

$$I_{cyl,mid}=\frac1{12}mL^2$$ Si en cambio tuviéramos una esfera girando alrededor de su centro,

el momento de inercia es

$$I_{sph}=\frac25mr^2$$

Así que claramente la forma y el eje afectan el momento de inercia.

Si rotamos un objeto sobre un eje que no se alinea con su centro de masa, entonces necesitamos usar el teorema del eje paralelo . Esto nos dice que el momento de inercia total es entonces

$$I_{tot}=I_{cm} + mr^2$$ donde el $r$denota la distancia desde el centro de masa del objeto al eje de rotación y $I_{cm}$es el momento normal de inercia del objeto (por ejemplo, los pocos anteriores).

Dos teoremas que vale la pena conocer cuando se trata de cálculos como este:

1) Teorema de los ejes paralelos. Para cualquier objeto de masa$m$, el momento de inercia$I_A$sobre un eje A que es paralelo pero desplazado una distancia$x$de un eje$C$a través del centro de masa, está dada por

$$I_A = mx^2 + I_C$$

De esto se sigue inmediatamente que el momento de inercia alrededor de un eje que pasa por el centro de masa es mínimo (para esa dirección de rotación) ya que$mx^2$siempre será >0 para cualquier valor distinto de cero de$x$(el desplazamiento).

2) Teorema del eje perpendicular. Para una lámina (lámina delgada), el momento de inercia con respecto a un eje perpendicular a la lámina es igual a la suma de los momentos de inercia con respecto a dos ejes perpendiculares en la lámina.

Este teorema es útil para calcular el momento de inercia de una placa cuadrada de masa$m$y lado$s$. Es fácil calcular el momento de inercia alrededor de un eje en el plano de la placa y paralelo a los lados del cuadrado; alrededor de ese eje, la distribución de masa del objeto no es diferente a la distribución de una barra, para lo cual tenemos el resultado

$$I_x = \frac{1}{12} m s^2$$

por simetría,$I_y = I_x$. Del teorema del eje perpendicular,$I_z = I_x + I_y$entonces

$$I_z = \frac{1}{6} m s^2$$

Considerando un cubo como formado por una pila de láminas, se sigue que el momento de inercia de un cubo alrededor de un eje que pasa por el centro de masa (y por la cara del cubo) es el mismo que el anterior.

Puede ver una lista bastante completa de otros momentos de inercia para diferentes formas en este enlace