¿Por qué siempre ignoramos la constante de integración cuando derivamos fórmulas en física (usando integración)?

Solo tienes una constante de integración cuando haces una integral indefinida, una integral que no tiene límites. Por lo tanto, la constante de integración juega el papel de un límite desconocido. Ignoras las constantes de integración cuando haces una integral definida.

$W = \int_{0}^x kxdx$se evalúa en$x$y$0$, no hay constante de integración. El área bajo la curva$kx$entre$0$y$x$es una sola cantidad sin flexibilidad. Cuando tienes límites conocidos, no hay constante de integración.

En este ejemplo, puedes evaluar la antiderivada$\frac{1}{2}k x^{2} + C$en x y 0 y restar, encontrando que C se cancela, y además el valor en$x=0$es$0$, dejándote con$\frac{1}{2}k x^{2}$.

En general, si$f(x)+C = \int f'(x)dx$entonces$\int_{a}^{b} f'(x)dx = (f(b)+C) - (f(a)+C) = f(b)-f(a)$, ignorando la constante de integración porque se cancela a sí misma.

A sugerencia de @HarshDarji, estoy elaborando un comentario mío. El teorema fundamental del cálculo da algunas condiciones bastante débiles que aseguran lo siguiente: si$f(a)=b$y$f^\prime(x)=g(x)$,

Pero tenga en cuenta que he hecho la variable de integración$y$, o en mi comentario$x^\prime$, en vez de$x$. No debemos usar el mismo símbolo para el límite superior de la integral, que es solo la variable libre$x$pasó a$f$, como lo hacemos para la variable de integración ligada. Esto es análogo al hecho de que$\frac12n(n+1)$es$\sum_{k=1}^nk$, no$\sum_{n=1}^nn$(que no tiene sentido).

Escribiendo$x^\prime$ya que es una forma especialmente conveniente de abordar esta preocupación sin olvidar lo que hace la integral.

Tu integral no debería tener una constante de integración porque es definida.

Sin embargo, a lo que te puedes estar refiriendo es en el contexto de la energía potencial. El valor absoluto de la energía potencial es inútil. Es arbitrario hasta un cambio constante. Lo que realmente importa es el cambio en esa energía. Esto refleja el trabajo realizado por una fuerza conservativa. Por ejemplo, si tengo una energía potencial$U$, y le agrego una constante,$U+c$, entonces sí esto cambia el valor absoluto de$U$. Pero cuando calculo el trabajo realizado:

$W = - \Delta U = -(U_2 - U_1) = - ((U_2 + c) - (U_1 + c))$

no importa si tengo la constante allí o no. El trabajo realizado sigue siendo el mismo.

Además, la fuerza conservativa derivada también es la misma:

${\bf F} = - \nabla U$.

El operador nabla no hace nada con la constante, devuelve el vector cero cuando opera en una constante escalar.

Prácticamente, estamos interesados ​​en el trabajo realizado a lo largo de un camino, o la fuerza conservativa. Nunca nos interesa el valor absoluto de la energía potencial, por lo que "ignoramos la constante".

Matemáticamente,$W = \int_{0}^x kxdx$

$\implies W = {1\over 2}kx^2 + c - ({1\over2}k(0)^2+c)={1\over2}kx^2$

Echemos un vistazo más de cerca al caso específico que usas como ejemplo: realizar la integración para llegar a una expresión para la energía potencial.

Lo que pasa con la energía potencial: la energía potencial no tiene un punto cero intrínseco. En cualquier cálculo que hagas, estás evaluando una diferencia de potencial. En ese sentido, la elección del punto cero es arbitraria.

En el caso de la energía potencial elástica de un resorte, existe una elección natural del punto de potencial cero: el estado relajado del resorte. Pero aun así, no surgirá ninguna autocontradicción si asigna como potencial un valor 'c' distinto de cero al estado relajado del resorte. Luego, cuando asigna un valor numérico (para la energía potencial elástica) a un estado particular acortado/alargado de ese resorte, agrega ese mismo valor 'c' que asignó al estado relajado del resorte.

En cualquier cálculo: lo que usa es la diferencia de energía potencial entre dos estados del resorte, por lo que el factor 'c' siempre se eliminará del cálculo.

Aquí hay un caso en el que la elección del punto cero es un poco complicada: la energía potencial gravitacional.

Uno puede tener la tentación de hacer lo siguiente: tomar dos objetos y llamar al estado donde los dos objetos se han fusionado el estado de energía gravitatoria potencial cero. Luego puede asignar un potencial a cada estado donde los dos objetos están a cierta distancia entre sí.

El problema con eso: si tratas los dos cuerpos gravitantes como masas puntuales, entonces pueden acercarse arbitrariamente el uno al otro. La gravedad es una ley del cuadrado inverso; cuando la distancia se vuelve infinitamente pequeña, la fuerza se vuelve infinitamente grande. Entonces: matemáticamente, la integración falla: no se puede integrar hasta la distancia cero.

El problema del infinito anterior se evade de la siguiente manera: en el caso de una fuerza del cuadrado inverso como la gravedad, el valor del potencial cero se pone a una distancia infinita entre sí.

Cuando dos objetos se atraen gravitatoriamente entre sí, se aceleran uno hacia el otro. Se mueven hacia abajo por el potencial gravitacional y la energía potencial gravitatoria se transforma en energía cinética.

Entre dos distancias cualesquiera lo que es relevante para ti es la diferencia en la energía potencial gravitacional. Todo lo que usa es la diferencia en la energía potencial gravitatoria entre la distancia A y la distancia B. Es por eso que tiene libertad para elegir dónde coloca el punto de energía potencial cero.

Como dos objetos aceleran uno hacia el otro, acelerados por la gravedad, el valor de la energía potencial que asignas es un valor negativo. ¿La energía potencial puede ser negativa ? De nuevo: ese valor negativo no tiene un significado intrínseco. La diferencia de potencial gravitatorio entre algún punto A y algún punto B a mayor distancia es un valor positivo.

Todo lo que usas es la diferencia de energía potencial entre dos estados.

Todos los casos en los que se realiza la integración y se ignora la constante de integración, son casos en los que (como la energía potencial) está utilizando una diferencia; una diferencia entre dos estados. Por lo tanto, cualquier constante de integración que agregue se eliminará del cálculo de todos modos.

Disculpa mi pobre ingles. Mi lengua materna es el francés.

Creo que estás confundiendo la noción de integral de Riemann y la noción de antiderivada. Cuando los definimos, los dos no tienen nada que ver entre sí.

La integral de Rieman se define como el límite de las sumas de Riemann: dividimos el intervalo en elementos infinitamente pequeños y sumamos el todo pasando al límite. Esto es lo que hacemos cuando calculamos la energía potencial de un resorte.

La antiderivada es simplemente la operación inversa de la derivada. Su definición implica una constante indeterminada.

Pero hay un teorema fundamental de análisis que dice que la integral de Riemann es la variación de la antiderivada entre los límites.

¡Este teorema es obviamente muy útil! Pero prescindimos de él cuando calculamos una integral numéricamente. ¡Y también podríamos estimar el área bajo una curva pesando la hoja de papel!