¿No debería ser la relación entre el par y el momento de inercia y la aceleración angular τ=Iαsinθτ=Iαsin⁡θ\tau = I\alpha \sin\theta?

Question

¿No debería ser la relación entre el par y el momento de inercia y la aceleración angular τ=Iαsinθτ=Iαsin⁡θ\tau = I\alpha \sin\theta?

esfuerzo de torsión
Física
momento de inercia
mecanica-newtoniana
dinámica-rotacional
cinemática-rotacional

tratando de ser bestial

De acuerdo con Fundamentals of Physics Extended 10th Edition de Halliday, Walker & Resnick , la relación entre torque $(\tau)$ y momento de inercia $(I)$ y aceleración angular $(\alpha)$ es $\tau = I\alpha$ , y no tengo ningún problema con esta relación.

Creo que una relación correcta alternativa puede ser $\tau = I\alpha \sin\theta$ . Como $\tau=Fr$ se usó para derivar la fórmula, obtenemos $\tau = I\alpha$ . En cambio, si $\tau = Fr\sin\theta$ se usó en la derivación, habríamos obtenido $\tau = I\alpha \sin\theta$ .

Si queremos usar $Fr\sin\theta$ para derivar la relación entre el par, el momento de inercia y la aceleración angular, podemos ver la derivación a continuación:

$\tau=Fr_1\sin\theta$

$\implies \tau=m_1a_1r_1\sin\theta$

$\implies \tau=m_1\alpha r_1 r_1\sin\theta$

$\implies \tau=\alpha m_1\sin\theta(r_1)^2$

$\implies \tau_\text{net}=\alpha \sin\theta[m_1r^2_1+m_2r^2_2+m_3r^2_3+...]$

$\implies \tau_\text{net}=mr^2\alpha \sin\theta$

$\implies \tau_\text{net}= I\alpha \sin\theta$

Para probar que mi fórmula es correcta, haré cálculos con mi fórmula y $\tau=I\alpha$ :

Una masa puntual ( $m = 3 \;\text{kg}$ ) gira en un círculo de radio $2 \;\text{m}$ . si una fuerza $\vec F \ (|\vec F|=5 \;\text{N})$ que no es perpendicular a $\vec r$ actúa sobre la masa puntual, ¿cuál será el par aplicado, $\tau$ ?

Usando $\tau=I\alpha$ :

$\tau=I\alpha$

$\implies \tau=mr^2\times\frac{a}{r}$

$\implies \tau=3\times2^2\times\frac{\frac{5\times\sin(30)}{3}}{2}$

$\implies \tau=5 \;\text{N}\,\text{m}$

Usando $\tau= I\alpha \sin\theta$ :

$\tau= I\alpha \sin\theta$

$\implies \tau=mr^2\times\frac{a}{r}\times \sin\theta$

$\implies \tau=3\times2^2\times\frac{\frac{5}{3}}{2}\times\sin 30°$

$\implies \tau=5 \;\text{N}\,\text{m}$

Entonces, podemos ver que mi fórmula y $\tau=I\alpha$ son las mismas fórmulas. Cuando $\theta=90°$ , Eso es cuando $\vec F$ & $\vec r$ son perpendiculares, entonces mi fórmula también se convierte en $\tau=I\alpha\times\sin 90°$ $\implies \tau=I\alpha$ . Entonces, mi derivación y fórmula son legítimas por las razones anteriores. ¿Cómo estoy equivocado?

Connor Behan

lo que llaman

F_{t}

$F_t$ (y relacionarse correctamente con la aceleración angular) ya tiene el

\sin θ

$\sin \theta$ absorbido.

tratando de ser bestial

@ConnorBehan Entonces, tengo razón en que la fórmula es

τ = I α s i n θ

$\tau = I\alpha sin\theta$ ?

Connor Behan

No. Cuando ves un

\sin θ

$\sin \theta$ , ese es un signo revelador de que la ecuación es realmente un producto cruzado de dos vectores. Pero

I

$I$ no es un vector

ricardo myers

@ user545735 (no sé si eso hará ping correctamente), para ayudarlo a asegurarse de obtener lo que está buscando de su recompensa, ¿puede aclarar lo que está buscando en una respuesta? ¿Debería ser solo algebraico, o son aceptables las operaciones con valores vectoriales (productos escalares, productos cruzados, etc.)? ¿Etc?

jalex

Para uso de legibilidad \siny \cosen las expresiones matemáticas. ¿Notas la diferencia?

τ = I α \sin θ

$\tau = I \alpha \sin \theta$ ?

tratando de ser bestial

Chicos, edité la pregunta. ¿Podrías por favor investigarlo? ¡Gracias de antemano!

Michael Seifert

En tu ejemplo, parece que estás usando

a = 5 / 3

$a = 5/3$ en un caso y

a = 5 \sin (30 °) / 3

$a = 5 \sin(30°)/3$ en el otro. O esto es involuntariamente inconsistente o está usando una definición diferente para

a

$a$ en cada ecuación, lo que parece innecesariamente confuso.

tratando de ser bestial

Estoy usando una definición diferente para

a

$a$ en cada ecuación.

Respuestas (3)

¿No debería ser la relación entre el par y el momento de inercia y la aceleración angular τ=Iαsinθτ=Iαsin⁡θ\tau = I\alpha \sin\theta?

lo que llaman $F_t$ (y relacionarse correctamente con la aceleración angular) ya tiene el $\sin \theta$ absorbido.
@ConnorBehan Entonces, tengo razón en que la fórmula es $\tau = I\alpha sin\theta$ ?
No. Cuando ves un $\sin \theta$ , ese es un signo revelador de que la ecuación es realmente un producto cruzado de dos vectores. Pero $I$ no es un vector
@ user545735 (no sé si eso hará ping correctamente), para ayudarlo a asegurarse de obtener lo que está buscando de su recompensa, ¿puede aclarar lo que está buscando en una respuesta? ¿Debería ser solo algebraico, o son aceptables las operaciones con valores vectoriales (productos escalares, productos cruzados, etc.)? ¿Etc?
Para uso de legibilidad \siny \cosen las expresiones matemáticas. ¿Notas la diferencia? $\tau = I \alpha \sin \theta$ ?
Chicos, edité la pregunta. ¿Podrías por favor investigarlo? ¡Gracias de antemano!
En tu ejemplo, parece que estás usando $a = 5/3$ en un caso y $a = 5 \sin(30°)/3$ en el otro. O esto es involuntariamente inconsistente o está usando una definición diferente para $a$ en cada ecuación, lo que parece innecesariamente confuso.
Estoy usando una definición diferente para $a$ en cada ecuación.

ryder grosero · Answer 1

Lo que pasa es que la relación $a_t=\alpha r$ da la componente tangencial de la aceleración $a$ , es decir $a_t=a\sin{\theta}$ . Puedes ver esto diferenciando $\vec{v}=\vec{\omega}\times \vec{r}$ . obtendrías $\vec{a}=\vec{\alpha}\times \vec{r} + \vec{\omega} \times \vec{v}$ . El segundo término está dirigido a lo largo de $\vec{r}$ y se llama aceleración radial. el primer termino $\vec{\alpha}\times \vec{r}$ es perpendicular a $\vec{r}$ y se llama aceleración tangencial. Entonces la aceleración tangencial es solo una parte de la aceleración total $\vec{a}$

Incluso $\vec{\omega} \times \vec{r}$ solo te da la velocidad tangencial. Como este producto vectorial es perpendicular a $\vec{r}$ , no puede tener ninguna componente radial. Pero el caso es que la componente radial es 0. Como todas las partículas van en círculos, la velocidad tangencial es igual a la velocidad total $\vec{v}$ . Las cosas cambian cuando hablamos de aceleración total $\vec{a}$ porque, para que cualquier partícula describa un círculo, debe experimentar una aceleración centrípeta que se dirige a lo largo del radio.

τ = F r pecado θ

$\tau=Fr\sin{\theta}$

= metro r a pecado θ

$=mra\sin{\theta}$

= metro r a_{t}

$=mra_t$

= metro r^{2} α

$=mr^2\alpha$

= I α

$=I\alpha$

jalex · Answer 2

La relación $\tau = I \alpha$ es el correcto Relaciona el momento de torsión sobre un eje con la aceleración angular sobre el mismo eje, y el momento de inercia de la masa también sobre este eje.

es cierto que si $\tau$ es el resultado de una fuerza compensada $F$ a una distancia de radio $r$ , con ángulo $\theta$ entre la dirección de la fuerza y la dirección radial, entonces

τ = (r pecado θ) F

$\tau = (r \sin \theta) F$

Pero eso acaba de describir el lado izquierdo de $\tau = I \alpha$ para producir

(r pecado θ) F = I α

$(r \sin \theta) F = I \alpha$

Aquí $r \sin \theta$ es el brazo de momento de $F$ sobre el eje.

En la pregunta que reemplazas ciegamente $F = m a$ sin considerar todas las fuerzas posibles que actúan sobre el cuerpo (como las fuerzas de reacción del pasador) y sin considerar en qué dirección está la fuerza $F$ actuando y en que direccion es la aceleracion $a$ posible.

Aquí es donde la progresión de la ecuación se vino abajo.

Para derivar $\tau = I \alpha$ suma todo el momento angular individual de cada partícula en el cuerpo para mostrar que $H = I \omega$ . Luego use la segunda ley de Newton que relaciona la fuerza con la derivada del momento de traslación, para cada partícula del cuerpo para encontrar que

τ = \frac{d}{d t} H = \frac{d}{d t} (I ω) = I α

$\tau = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} H = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} (I \omega) = I \alpha$

Mejor aún, lea sobre la derivación de las ecuaciones de movimiento de Newton-Euler en vectores a partir de

\begin{aligned} \sum F & = metro a \\ \sum τ & = I α + ω \times I ω \end{aligned}

$\begin{aligned} \sum \boldsymbol{F} & = m \boldsymbol{a} \\ \sum \boldsymbol{\tau} & = \mathrm{I} \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\omega} \times \mathrm{I} \boldsymbol{\omega} \end{aligned}$

¡Gracias por su respuesta! Tenía una pregunta sobre tu respuesta. Dices que mi sustitución $F=ma$ era incorrecto, pero Halliday en su derivación también usó $F=ma$ para derivar $\tau=I\alpha$ . ¿Cuál es la diferencia entre mi y su derivación?
@AbuSafwan: no puedo comentar sobre Halliday porque no lo he leído. Sé que para completar la derivación que relaciona el par y la fuerza, también necesita la cinemática que relaciona el movimiento angular con el lineal. También creo que necesita que edite su pregunta para agregar detalles, como ¿es este un cuerpo libre o un cuerpo anclado? Además, la información proporcionada en su "respuesta" realmente pertenece a la pregunta y la respuesta debe eliminarse.

RW pájaro · Answer 3

El $\sin(\theta)$ se incluye en la definición del momento de torsión, que utiliza solo la componente de la fuerza que realiza trabajo en la dirección tangencial.

¿No debería ser la relación entre el par y el momento de inercia y la aceleración angular τ=Iαsinθτ=Iαsin⁡θ\tau = I\alpha \sin\theta?

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