Comprender el diferencial en integrales

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Comprender el diferencial en integrales

amagicalfishy

Después de años , todavía tengo problemas para internalizar realmente el significado de varios diferenciales en las integrales, específicamente, cuando surgen a través del razonamiento sobre fenómenos físicos. Cuando vuelvo para revisar, caigo presa de los mismos problemas que tuve cuando aprendí el material originalmente. No es que no entienda necesariamente la solución correcta, pero la mayoría de las veces no entiendo por qué la incorrecta es incorrecta.

Ejemplo 1: considere el proceso de derivar el momento de inercia de un disco delgado de masa $M$ y radio $R$ . Mi pensamiento inmediato es "Me gustaría derivar esto sumando el momento de inercia de anillos concéntricos de varios radios".

I = \sum {metro}_{i} r_{i}^{2}

$I = \sum m_i r_i^2$ ... dónde

m_{i}

$m_i$ es la masa de una partícula en el anillo y

r_{i}

$r_i$ será la distancia de la partícula desde el centro del anillo (o el radio del anillo).

El momento de inercia de un punto en la circunferencia del anillo de radio $r$ es:

d I_{r i norte gramo} = d metro r^{2} = (\frac{metro}{π R^{2}}) r^{2}

$dI_{ring} = dm ~ r^2 = \left(\frac{m}{\pi R^2}\right)r^2$

... pero no debería haber un $dr$ ¿en algún lugar? Se trata de aquí donde me tambaleo tratando de averiguar por qué no tengo un $dr$ , qué $dr$ realmente significa (para que pueda insertarlo en el lugar apropiado), si realmente debería o no tener $dr$ o $dm$ , etc. Entonces, me pregunto "... ¿qué es lo que realmente estoy resumiendo? ¿Cuáles serían los límites de la integración?" (De $0$ a $2\pi r$ , porque estoy sumando sobre una pequeña parte de la circunferencia? ¿Me estoy confundiendo al usar $dr$ y no, digamos, $dS$ ?)

Ejemplo 2: digamos que supero todo eso y encuentro el momento de inercia de un aro delgado de radio $r$ ser $I = \left( \frac{2mr}{R^2}\right)r^2$ . Ahora me gustaría sumar estos aros para formar un disco. Entonces...

d I_{d i s k} = (\frac{2 metro r}{R^{2}}) r^{2}

$dI_{disk} = \left( \frac{2mr}{R^2}\right)r^2$

... donde me gustaría $r$ variar de $0$ a $R$ . De nuevo, ¿qué hay de $dr$ (o $d\text{[whatever]}$ )? Bueno, yo sé que quiero $r$ variar, así que... mi integral debería ser algo así como...

\int_{0}^{R} d I

$\int_0^R dI$

... ¿bien?

\int_{0}^{R} (\frac{2 metro r}{R^{2}}) r^{2} = \int_{0}^{R} \frac{2 metro r^{3}}{R^{2}}

$\int_0^R \left( \frac{2mr}{R^2}\right)r^2 = \int_0^R \frac{2mr^3}{R^2}$ ...

d r

$dr$ ?

Esto continuará durante mucho tiempo, hasta que inevitablemente haga una publicación en Stack Exchange pidiendo ayuda.

He leído muchos ejemplos y me he guiado a través de muchas derivaciones que caen en esta categoría, y las entiendo completamente cuando lo hago. El problema es que el conocimiento que obtengo al hacer esto no parece generalizarse. Parece que no puedo intuir una especie de regla general para este tipo de problemas, y es particularmente frustrante.

¿ Podría alguien ayudarme a dilucidar qué es este maldito diferencial misterioso de tal manera que, tal vez, proporcione una regla general?

lalala

Tal vez esto ayude: no pienses en dm como un punto. Piense en ello como un elemento de pequeño volumen. Este elemento de volumen se aproxima por el (por ahora) finito dr multiplicado por r dphi. La 'reducción a cero' se realiza automáticamente cuando escribes la integral.

Respuestas (3)

Comprender el diferencial en integrales

Tal vez esto ayude: no pienses en dm como un punto. Piense en ello como un elemento de pequeño volumen. Este elemento de volumen se aproxima por el (por ahora) finito dr multiplicado por r dphi. La 'reducción a cero' se realiza automáticamente cuando escribes la integral.

knzhou · Answer 1

Tienes razón en que algo sutil está pasando aquí. Por ejemplo, tomemos el caso más simple de definir la masa total como una integral, $M = \int dm$ . Esto tiene el significado simple e intuitivo de decir "romper el objeto en pedazos pequeños y sumar las masas de cada pedazo". Y matemáticamente se llama integración con respecto a una medida, y se estudia rigurosamente bajo el nombre de integral de Lebesgue.

Pero en física introductoria, esto no es directamente útil, porque queremos saber cómo llevar a cabo realmente la integración. Por ejemplo, el momento de inercia se puede escribir como

I = \int d I = \int r^{2} d metro

$I = \int dI = \int r^2 dm$ lo que arroja mucha luz sobre lo que significa el momento de inercia. Pero esto es inútil para los cálculos reales porque no tenemos reglas para integrar estas variables. Lo que hacemos casi todo el tiempo es introducir una parametrización y luego integrar con respecto al parámetro.

Por ejemplo, podríamos definir $I(r)$ como el momento de inercia, contando solo las masas con radio $r$ o menos. En ese caso, realmente queremos $I(R)$ , dónde $R$ es el radio del objeto, y

I = \int d I = \int_{0}^{R} \frac{d I}{d r} d r .

$I = \int dI = \int_0^R \frac{dI}{dr} \, dr.$ Aquí,

d I / d r

$dI/dr$ es la tasa de cambio del momento de inercia a medida que contamos radios cada vez mayores, por lo que

(d I / d r) d r = d I

$(dI/dr)\, dr = dI$ es la contribución del momento de inercia debido a una fina rebanada de espesor

d r

$dr$ .

Eso significa que en su caso, la expresión correcta para $dI$ es

d I = r^{2} d metro = r^{2} (ρ \cdot 2 π r d r) = \frac{2 METRO r^{3}}{R^{2}} d r

$dI = r^2 dm = r^2 (\rho \cdot 2 \pi r dr) = \frac{2Mr^3}{R^2} dr$ dónde

ρ

$\rho$ es la densidad del objeto. En la segunda expresión, implícitamente estamos pensando en

d m

$dm$ como la cantidad de masa en un pequeño radio

d r

$dr$ . Si no se siente cómodo con la segunda igualdad, piense en

m (r)

$m(r)$ como una función que da la cantidad de masa dentro de un radio

r

$r$ (como definimos

I (r)

$I(r)$ ). Entonces simplemente estamos reemplazando

d m

$dm$ con

(d m / d r) d r

$(dm/dr)\, dr$ por la regla de la cadena.

Nunca vi el valor de la " $\mathrm{d}m$ "construcciones, especialmente en cursos introductorios en los que el estudiante nunca ha visto tal cosa. Lo único que ha integrado alguna vez es una coordenada (y posiblemente una parametrización de un camino).
@garyp Creo que es una notación perfectamente adecuada para usar: si usara otra cosa, seguramente ocuparía más espacio, y sugiere muy bien $dm = (dm/dr)dr$ por 'fracciones'. Pero estoy de acuerdo en que debe explicarse explícitamente cuando se presente.

JMLCarter · Answer 2

Así es como lo hago, tal vez funcione para usted.

Integral es esencialmente una suma continua. Necesito considerar qué conjunto de elementos que estoy sumando representan realmente y cómo varían.

Hay (como siempre) más de una forma de resolver un problema, y en términos de su ejemplo, sería igualmente posible resolverlo
a) sumando/integrando todos los elementos desde una dirección particular y luego sumando todos esos en cada dirección O
b ) sumando/integrando todos los elementos en un radio particular en cada dirección y luego sumando todos esos para cada radio.

Estos esquemas se eligen para garantizar que todos los elementos relevantes estén incluidos en la integración.

La suma/integración más sencilla suele ser aquella en la que los elementos sumados son todos similares. Esa sería la opción b) aquí, ya que el tamaño de todos los elementos en un radio definido es constante.

Germen · Answer 3

No sé si podré responder completamente a su pregunta, pero para el ejemplo que ha publicado, así es como generalmente lo enfoco.

Cuando quieras calcular $dm$ de un pequeño anillo circular (donde luego integraremos sobre todo el disco), queremos encontrar la pequeña porción de masa de ese anillo. Esto está dado por

d metro = ρ (r) * 2 π r * d r

$dm = \rho(r) * 2 \pi r *dr$

La razón por la que esta es la fórmula es porque tenemos la densidad de masa del disco ( $\rho$ ), y luego el "área" que se crea a partir de un disco pequeño es la circunferencia del disco ( $2\pi r$ ) multiplicado por el espesor del disco ( $r$ ). Puede pensar en ello como desplegar el pequeño anillo en un rectángulo con lados $2\pi r$ y $dr$ . A partir de ahí, puede integrar desde $0$ a $R$ .

En general, encuentro que, si va a reemplazar un diferencial por otro, generalmente tendrá algún otro diferencial etiquetado. Lo que quiero decir con esto es que, cuando reemplacé $dm$ en mi expresión, obtengo otro diferencial $dr$ al final.

En el caso del disco, la forma en que pienso en cuál debería ser el diferencial es pensando en lo que estoy sumando. Aquí, estamos usando anillos infinitesimalmente delgados, y todos tienen el mismo "grosor" $dr$ . Sin embargo, el radio $r$ porque cada anillo ciertamente está cambiando, por lo que también tenemos un factor de $r$ allí también.

Espero que esto ayude (al menos, para este ejemplo). Mi sugerencia sería continuar con los ejemplos, y después de un tiempo la parte de los diferenciales se volverá más clara.

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