¿El espacio de Hilbert incluye estados que no son soluciones del hamiltoniano?

Hay cierta sutileza en tu pregunta.

Para los sistemas cuánticos con un número finito de grados de libertad , como se trata comúnmente en la introducción QM, las cosas son relativamente simples:

1. Sí y no: el hamiltoniano ciertamente determina una base para el espacio de estados de Hilbert, pero el espacio de trabajo de Hilbert depende del dominio de definición del problema y de las condiciones de contorno asociadas. Véase partícula en una caja 3D frente a partícula libre en todo el espacio 3D, así como partícula en una caja con Dirichlet bc-s frente a partícula en una caja con bc-s periódico, etc. Alternativamente, el espacio de Hilbert es determinado por el álgebra de los observables del sistema, como se señala en la respuesta del usuario 1620696, pero las dos descripciones son eventualmente equivalentes. Además, existe una equivalencia aún más profunda de los espacios de Hilbert, consulte el punto (3) a continuación.

2. Cada partícula vive en su propio espacio de Hilbert, pero el sistema de interacción combinado vive en el producto directo de los espacios de Hilbert individuales. Nuevamente, vea la relación con el álgebra de observables como en la respuesta del usuario 1620696.

3. Dejando de lado el espín y las interacciones de espín mencionadas por Hosein, generalmente no, para un número finito de grados de libertad, el espacio de Hilbert no cambia bajo perturbaciones. De acuerdo con el teorema de Stone-von Neumann , en este caso todos los espacios de Hilbert posibles son isomorfos entre sí (o, de manera equivalente, existe una única representación irreducible de las relaciones de conmutación canónicas), por lo que distinguir uno sobre otro no supone ninguna diferencia formal. A lo sumo, el espacio total de Hilbert se descompone en una suma directa de múltiples copias isomórficas.

Para sistemas con un número infinito de grados de libertad , que son el dominio de la teoría cuántica de campos, los puntos (1) y (2) anteriores siguen siendo en gran medida válidos, pero la situación cambia drásticamente con respecto al punto (3).

El teorema de Stone-von Neumann no se cumple para campos cuánticos, y uno puede encontrar que ciertas transformaciones unitarias definidas en un espacio de Hilbert, construidas alrededor de un hamiltoniano dado, producen estados que son ortogonales a todo ese espacio de Hilbert y viven en un espacio completamente nuevo , espacio de estados no equivalente. Este es el caso del vacío no equivalente de muchos hamiltonianos QFT, desde los de materia condensada (ver condensación de bosones, superconductividad, etc.) hasta QCD.

Además, la naturaleza de tal vacío no equivalente (o mejor dicho, representaciones unitariamente no equivalentes de la dinámica ) está determinada por la naturaleza de las interacciones entre los campos libres descritos por algún hamiltoniano de partículas libres y el espacio de estado correspondiente.

Para tener una idea de lo que está pasando, véase, por ejemplo, Sec. 1.2 de esta revisión sobre Transformaciones Canónicas en la Teoría Cuántica de Campos .

Es el álgebra de observables la que determina sus posibles representaciones, es decir, el(los) espacio(s) de Hilbert correspondiente(s).

El hamiltoniano describe la dinámica, dentro de la representación dada.

Editar _ Para aclarar un poco, la descripción matemática común de los sistemas mecánicos cuánticos es la siguiente.

Los observables (acotados y complejos) de un sistema cuántico forman un álgebra de Banach involutiva llamada álgebra C*. Esta estructura permite agregar los observables ($+$), multiplicado ($\cdot$), adjunto ($^*$) de forma cerrada; y da un significado a la "magnitud" o norma de un observable dado. Los verdaderos observables físicos son los elementos autoadjuntos del C*-álgebra$\mathfrak{A}$que satisfacen$a^*=a$(y así tener espectro real). Los estados cuánticos son los objetos de preservación positiva del dual topológico.$\mathfrak{A}^*$con la norma uno.

Un ejemplo común de C*-álgebras son las álgebras de operadores acotados en espacios de Hilbert. Resulta que cada álgebra de C* es un álgebra de operadores en algún espacio de Hilbert :

Teorema [Gel'fand]. Cada álgebra C* es *-isomorfa a un álgebra de operadores acotados en algún espacio de Hilbert.

Por lo tanto, siempre que los observables acotados cuánticamente se describan mediante un álgebra C*, se pueden representar como operadores en algún espacio de Hilbert. Por supuesto que esa representación no es única; para cada estado$\omega\in\mathfrak{A}^*_+$, hay una representación asociada$(H_\omega, \pi_\omega,\Omega)$dada por la llamada construcción GNS. Además, la referida representación es irreductible sólo si el Estado$\omega$es puro

Dicho esto, la siguiente pregunta puede ser la siguiente. ¿Todas las representaciones irreducibles de un álgebra dada son unitariamente equivalentes? (es decir, ¿todas las representaciones son equivalentes en términos generales hasta un cambio de base?) Si la respuesta fuera afirmativa, esto nos diría en cierto sentido que el espacio de Hilbert asociado a un álgebra de observables dada es único. La respuesta, sin embargo, es en general no ; un ejemplo muy importante dado por el álgebra de las relaciones canónicas de conmutación de las teorías cuánticas de campos (libres). En el caso de la mecánica cuántica, en cambio, cada representación irreducible del álgebra de las relaciones canónicas de conmutación es unitariamente equivalente a la representación habitual de Schrödinger.

El hamiltoniano no está relacionado en parte con eso. Es el generador de la dinámica cuántica.$(U(t))_{t\in\mathbb{R}}$, y por supuesto este último debería actuar sobre el álgebra de observables (equivalentemente, sobre estados). Supongamos que el álgebra de observables dada es$\mathfrak{A}$, la evolución debe ser un grupo de automorfismos en el álgebra con unas adecuadas propiedades de continuidad con respecto al tiempo$t$. Sin embargo, en muchas aplicaciones concretas tenemos que considerar un álgebra de observables lo suficientemente grande para que sea posible con una evolución que coincida con los requisitos que queremos (por ejemplo, dado por las observaciones en el sistema). El álgebra de las relaciones canónicas de conmutación$\mathrm{CCR}$puede no ser suficiente, y para ampliarlo podemos, por ejemplo, fijar una representación irreductible$(H,\pi)$tal que$\pi(a)\in\mathcal{L}(H)$para cualquier$a\in\mathrm{CCR}$es un operador acotado. el biconmutante$\pi(\mathrm{CCR})''$del álgebra de relaciones canónicas de conmutación en la representación$\pi$contiene$\pi(\mathrm{CCR})$y consta de todos los operadores acotados en$\mathcal{L}(H)$que viajan con todos los operadores que viajan con todos los operadores en$\pi(\mathrm{CCR})$(y es un álgebra C*). En tal biconmutante, o más generalmente en$\mathcal{L}(H)$, puede ser posible definir la evolución unitaria$(U(t))_{t\in\mathbb{R}}$y su generador, el hamiltoniano. Este hamiltoniano es, sin embargo, dependiente de la representación (con respecto a las relaciones canónicas de conmutación) porque en general$U(t)[\pi(\mathrm{CCR})]\not\subset \pi(\mathrm{CCR})$.

El punto es que primero se debe identificar el espacio de Hilbert de un sistema, luego se escribe su hamiltoniano. En problemas ordinarios es fácil definir el espacio de Hilbert adecuado y uno escribe el hamiltoniano sin perder tiempo en encontrar el espacio de Hilbert. por ejemplo, una partícula sin espín. Entonces, cuando escribes un hamiltoniano, primero debes conocer el espacio de Hilbert.

Un punto más: a veces las personas no conocen la estructura del espacio de Hilbert de un problema, simplemente escriben un hamiltoniano adivinando y luego tratan de averiguar la estructura del espacio de Hilbert, un ejemplo es la cuantización de campos libres que se convierte para dar el espacio de Fock: la suma directa de cero, uno, dos,$\dots$estados de partículas.

Así que la respuesta a tus preguntas es:

1. Sí, en el sentido de que sus vectores propios son la base de un espacio de Hilbert, pero si este espacio de Hilbert es conveniente para describir el sistema del que desea construir un modelo o no, es otra historia.

2. No, solo si son completamente independientes y no hay interacción entre ellos, entonces cada uno tiene su propio espacio de Hilbert. Sin embargo, puede escribir un hamiltoniano para estas dos partículas mediante un producto tensorial.

3. Como dije, si ha definido el espacio de Hilbert, entonces cada término en el hamiltoniano debería ser un operador bien definido en ese espacio de Hilbert. Pero si no ha definido primero el espacio de Hilbert, entonces sí, el espacio de Hilbert se puede cambiar agregando nuevos términos al hamiltoniano. Por ejemplo, agregando un término que depende del espín de la partícula al hamiltoniano de una partícula sin espín que solo depende de los operadores de posición y momento.

Un espacio de Hilbert es, por definición, solo un espacio vectorial$\mathcal{H}$encima$\mathbb{C}$equipado con un producto interior$\langle,\rangle :\mathcal{H}\times \mathcal{H}\to \mathbb{C}$tal que definiendo la distancia$d :\mathcal{H}\times \mathcal{H}\to \mathbb{R}$,

el espacio métrico resultante$(\mathcal{H},d)$es completa, en el sentido de que toda sucesión de Cauchy converge en un punto en$\mathcal{H}$.

Un resultado importante es:

Dos espacios de Hilbert son isométricamente isomorfos si y solo si tienen la misma dimensión

Entonces, para cada dimensión hay exactamente un espacio de Hilbert. Si la dimensión es$n\in\mathbb{N}$entonces$\mathcal{H}\simeq \mathbb{C}^n$, y si la dimensión es infinita, tenemos$\mathcal{H}\simeq \ell^2(\mathbb{C})$, ser$\ell^2(\mathbb{C})$el espacio de las secuencias$(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$de numeros complejos$a_n\in \mathbb{C}$tal que$\sum |a_n|^2 < \infty$.

En Mecánica Cuántica, el espacio de Hilbert aparece en el primer postulado:

1. Los estados de un sistema cuántico se describen mediante vectores en un espacio de Hilbert llamado espacio de estado.$\mathcal{E}$.

Los observables aparecen en el segundo postulado:

2. Para cada cantidad física asociada al sistema existe un operador hermitiano$A\in \mathcal{L}(\mathcal{H},\mathcal{H})$, tal operador se llama un observable.

El hamiltoniano es solo un observable particular: el observable que está asociado con la energía total del sistema.

Ahora vamos a abordar sus preguntas, una por una:

1. El hamiltoniano no determina el espacio de Hilbert. Curiosamente, lo que determina el espacio de Hilbert son los observables. En verdad, los observables forman un álgebra, llamada álgebra observable, y esta álgebra observable determina el espacio de Hilbert. Piense en una partícula en una dimensión: puede estar sujeta al potencial del pozo cuadrado infinito, al potencial del oscilador armónico unidimensional o incluso al potencial delta, pero en cualquiera de estos casos, el espacio de Hilbert es el mismo.

2. El sistema de dos partículas se describe mediante un espacio de Hilbert diferente, no por los hamiltonianos, sino por el álgebra observable. Si la partícula uno es descrita por$\mathcal{E}_1$y la partícula dos está descrita por$\mathcal{E}_2$, entonces el sistema de dos partículas se describe mediante$\mathcal{E}_1\otimes \mathcal{E}_2$. Si las partículas no interactuaran, el hamiltoniano resultante sería$H = H_1\otimes \mathbf{1} + \mathbf{1}\otimes H_2$, de lo contrario, habría términos de interacción.

3. Una vez más, el espacio no está determinado por el hamiltoniano. El hamiltoniano es solo un observable en particular. Si agrega términos al hamiltoniano, solo cambia la energía observable, pero no cambia el espacio de estado. Nuevamente, el espacio de estados está determinado por el álgebra observable, no por la forma particular de un observable.