¿Puede el operador hamiltoniano actuar sobre un sostén, si alguna vez actuó sobre un ket?

Sí, es legal.

Para dar alguna motivación de por qué este tipo de operador integral de una derivada podría simplificar la forma en que está considerando, consideremos un ejemplo muy simple lejos de nuestras preocupaciones normales de normalizar las funciones de onda y asegurarse de que las cosas sean hermitianas: Supongamos tu operador es$\partial_x$y tu sostén es$x^2$, e ignoramos el hecho de que las cosas pueden tener un valor complejo por el momento: luego, actuando sobre algún valor arbitrario$f$estamos escribiendo el lado izquierdo como abreviatura del lado derecho en:

$$\langle x^2\rvert\partial_x\lvert f\rangle = \int_{-\infty}^\infty dx~x^2 f'(x).$$ Pero claro después de integrar por partes tendríamos, $$\begin{align} \langle x^2\rvert\partial_x\lvert f\rangle &= \left[x^2 f(x)\right]_{-\infty}^\infty -\int_{-\infty}^\infty dx~2x f(x) \\ &= \langle -2x\rvert f\rangle, \end{align}$$ asumiendo propiedades de descomposición apropiadas de$f$en el infinito para eliminar el término límite. Entonces, una integral de derivadas a veces puede convertirse en una integral simple equivalente. Y también pueden ver que tenemos algo que casi parece la derivada del lado izquierdo, pero tiene un frustrante signo menos.

La propiedad específica a la que nos dirigimos aquí es la propiedad hermitiana o autoadjunta que dice que$H = H^\dagger$, o en notación matemática que

$$\langle H \phi, \psi\rangle = \langle \phi, H \psi\rangle.$$ Esta no es una propiedad trivial y arriba vimos que solo$\partial_x$por sí mismo no satisface esta propiedad; satisface una propiedad relacionada donde se llama anti-auto-adjunto o sesgado-hermitiano más o menos,$\nabla^\dagger = -\nabla.$Puede que ya lo sepas$p$como lo hace un operador, lo que significa que$i \partial_x$tiene esta propiedad cuando tenemos cuidado con nuestros negativos, porque el signo negativo se absorbe en la operación compleja conjugada: $$\begin{align} \langle \phi|i\partial_x|\psi\rangle &= \int dx~\phi^*(x)~i\partial_x~\psi(x) \\&= i[\phi^* \psi] - \int dx~\psi(x)~i\partial_x\phi^*(x) \\&= +\int dx~\psi(x)~ (i \partial_x \phi(x))^* \\&= \langle i\partial_x\phi|\psi\rangle. \end{align}$$ (Esto es un poco más fácil de ver en la notación de los matemáticos,$\langle \phi, i\nabla\psi\rangle = i\langle\phi,\nabla\psi\rangle =i\langle-\nabla\phi,\psi\rangle$por lo que acabamos de probar y luego el resto es solo$=\langle-(-i)\nabla\phi, \psi\rangle = \langle i\nabla\phi,\psi\rangle.$Como corolario, cualquier operador anti-auto-adjunto puede convertirse en auto-adjunto multiplicando por$\pm i$y viceversa.)

La razón por la que nos preocupamos por esta propiedad es que en la mecánica cuántica queremos que todas nuestras predicciones sean valores esperados de la forma

$$\langle A\rangle_\psi = \langle \psi| A|\psi\rangle.$$ Tomando el complejo conjugado y recordando que$\big(\langle a | b | c\rangle\big)^* = \langle c|b^\dagger |a\rangle$encontramos que el complejo conjugado de esta expresión es $$\langle A\rangle_\psi^* = \langle \psi|A^\dagger|\psi\rangle,$$ y así, si queremos un observable de valor real cuyas predicciones siempre sean iguales a su complejo conjugado sin importar cuál sea el estado, necesitamos exigir que tal observable sea autoadjunto.

Las reglas sobre los adjuntos de los operadores son muy simples,$(AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger$y$(A + B)^\dagger = A^\dagger + B^\dagger$, de modo que puede tomar productos de operadores autoadjuntos para obtener nuevos operadores autoadjuntos solo si los dos conmutan, y puede tomar sumas arbitrarias de operadores autoadjuntos. Por lo tanto, su hamiltoniano típico de una sola partícula$H = -(\hbar^2/2m) \nabla^2 + U(\vec r)$, es manifiestamente autoadjunto porque claramente$-\nabla^2$es el producto de dos operadores autoadjuntos$(i\nabla)\cdot(i\nabla)$y cada operador viaja consigo mismo, más$U(x)$es obviamente autoadjunto, y finalmente la suma es autoadjunta.

Estas propiedades son las que nos permiten afirmar con tanta seguridad que$\langle \psi_k|H = E_k \langle \psi_k|,$lo sabemos$H|\psi_k\rangle = E_k|\psi_k\rangle$en el lado derecho, pero como$H$es autoadjunto, sabemos que también podemos aplicarlo al lado izquierdo, para obtener un número real$E_k$.

La derivación completa es la siguiente:

$\dot{H}(t)|\psi_n(t)\rangle+H(t)|\dot{\psi}_n(t)\rangle=\dot{E}_n(t)|\psi_n(t)\rangle+E_n(t)|\dot{\psi}_n(t)\rangle\\ \Leftrightarrow \langle\psi_k(t)|\dot{H}(t)|\psi_n(t)\rangle + \langle\psi_k(t)|H(t)|\dot{\psi}_n(t)\rangle = \langle\psi_k(t)|\dot{E}_n(t)|\psi_n(t)\rangle + \langle\psi_k(t)|E_n(t)|\dot{\psi}_n(t)\rangle \\ \Leftrightarrow \langle\psi_k(t)|\dot{H}(t)|\psi_n(t)\rangle + E_k(t)\langle\psi_k(t)|\dot{\psi}_n(t)\rangle = \dot{E}_n(t)\langle\psi_k(t)|\psi_n(t)\rangle + E_n(t)\langle\psi_k(t)|\dot{\psi}_n(t)\rangle \\ \Leftrightarrow\langle\psi_k(t)|\dot{H}(t)|\psi_n(t)\rangle + E_k(t)\langle\psi_k(t)|\dot{\psi}_n(t)\rangle=E_n(t)\langle\psi_k(t)|\dot{\psi}_n(t)\rangle$

donde reemplazamos$\langle\psi_k(t)|H(t)$con$E_k(t)\langle\psi_k(t)|$y$\dot{E}_n(t)\langle\psi_k(t)|\psi_n(t)\rangle =0$porque$k \ne n$entonces vectores propios$|\psi_k(t)\rangle$y$|\psi_n(t)\rangle$son ortogonales.

Recuerda eso$E_n(t)$y$E_k(t)$son valores propios, es decir, números reales, por lo que conmutan con$\langle\psi_k(t)|$, y son iguales a sus complejos conjugados.

en el primer termino$\dot H(t)$opera en el vector ket$|\psi_n(t)\rangle$para producir otro vector ket$\dot{H}(t)|\psi_n(t)\rangle$. Luego tomamos el producto interno de esto con el vector sujetador$\langle\psi_k(t)|$.