¿Cuándo usar una suma de Kronecker frente a un producto tensorial de hamiltonianos?

Question

¿Cuándo usar una suma de Kronecker frente a un producto tensorial de hamiltonianos?

llamarada solar0

Dejar $H_1$ y $H_2$ ser hamiltonianos en espacios de Hilbert $\mathcal{H}_1$ y $\mathcal{H}_2$ . Mi pregunta en general se refiere a cómo se formaría un hamiltoniano en el espacio de Hilbert del producto tensorial

H = H_{1} \otimes H_{2} .

$\mathcal{H} = \mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2.$ La forma más obvia, para mí, es tomar el producto tensorial de hamiltonianos:

H_{t} = H_{1} \otimes H_{2} .

$H_t = H_1 \otimes H_2.$ Sin embargo, encuentro que, en la mayoría de las aplicaciones físicas, como cuando se estudian sistemas cuánticos abiertos o muchas físicas corporales, generalmente las personas toman la suma de Kronecker como el hamiltoniano en el espacio del producto tensorial:

H_{k} = H_{1} \otimes I_{2} + I_{1} \otimes H_{2},

$H_k = H_1\otimes I_2 + I_1\otimes H_2,$ dónde

I_{1, 2}

$I_{1,2}$ son operadores de identidad en

H_{1, 2}

$\mathcal{H}_{1,2}$ .

Soy consciente de las diferencias matemáticas entre estas dos construcciones, pero mi pregunta es: ¿alguien puede proporcionar una intuición física sobre cómo difieren estos hamiltonianos y bajo qué circunstancias usaría uno sobre el otro?

marzo

Los dos representan cosas diferentes. El primero representa un término de interacción entre dos sistemas cuánticos, y el segundo representa los hamiltonianos libres de cada sistema por separado. (Entonces, por ejemplo, el segundo podría ser la energía cinética y potencial de dos osciladores individuales, y luego el primero podría representar la interacción hamiltoniana si, por ejemplo, los dos osciladores están conectados por un resorte).

llamarada solar0

Esto es parte de lo que me confunde. Si arreglo un estado no enredado

| Ψ ⟩ = | ψ_{1} ⟩ | ψ_{2} ⟩

$|\Psi\rangle = |\psi_1\rangle|\psi_2\rangle$ , entonces

H_{t} | Ψ ⟩

$H_t|\Psi\rangle$ no está enredado, pero

H_{k} | Ψ ⟩

$H_k|\Psi\rangle$ podría estar enredado. Entonces

H_{t}

$H_t$ describe un sistema que interactúa, pero la evolución por

H_{t}

$H_t$ no puede causar enredos, y

H_{k}

$H_k$ describe un sistema que no interactúa, pero la evolución por

H_{k}

$H_k$ puede causar enredos. Por este argumento parece que

H_{t}

$H_t$ debe describir un sistema que no interactúa y

H_{k}

$H_k$ debe describir un sistema interactivo?

marzo

¡Veo! Creo que puedo resolver eso por ti de una manera simple. Dame un par de minutos y escribiré una respuesta.

llamarada solar0

@ J.Murray Ah, sí, cometí un error allí. He editado eso. Gracias por la aclaración.

Respuestas (1)

¿Cuándo usar una suma de Kronecker frente a un producto tensorial de hamiltonianos?

Los dos representan cosas diferentes. El primero representa un término de interacción entre dos sistemas cuánticos, y el segundo representa los hamiltonianos libres de cada sistema por separado. (Entonces, por ejemplo, el segundo podría ser la energía cinética y potencial de dos osciladores individuales, y luego el primero podría representar la interacción hamiltoniana si, por ejemplo, los dos osciladores están conectados por un resorte).
Esto es parte de lo que me confunde. Si arreglo un estado no enredado $|\Psi\rangle = |\psi_1\rangle|\psi_2\rangle$ , entonces $H_t|\Psi\rangle$ no está enredado, pero $H_k|\Psi\rangle$ podría estar enredado. Entonces $H_t$ describe un sistema que interactúa, pero la evolución por $H_t$ no puede causar enredos, y $H_k$ describe un sistema que no interactúa, pero la evolución por $H_k$ puede causar enredos. Por este argumento parece que $H_t$ debe describir un sistema que no interactúa y $H_k$ debe describir un sistema interactivo?
¡Veo! Creo que puedo resolver eso por ti de una manera simple. Dame un par de minutos y escribiré una respuesta.
@ J.Murray Ah, sí, cometí un error allí. He editado eso. Gracias por la aclaración.

marzo · Answer 1

Las dos formas hamiltonianas diferentes representan cosas físicas diferentes. El primero, dado por

\begin{matrix} (1) & {\hat{H}}_{1} \otimes {\hat{I}}_{2} + {\hat{I}}_{1} \otimes {\hat{H}}_{2}, \end{matrix}

$\hat{H}_1\otimes\hat{I}_2+\hat{I}_1\otimes\hat{H}_2\tag{1},$ representa los hamiltonianos libres de cada sistema por separado, y el segundo, dado por

\begin{matrix} (2) & {\hat{H}}_{1} \otimes {\hat{H}}_{2}, \end{matrix}

$\hat{H}_1\otimes\hat{H}_2\tag{2},$ representa un término de interacción entre dos sistemas cuánticos. (Entonces, por ejemplo, la primera podría ser la energía cinética y potencial de dos osciladores individuales, y luego la segunda podría representar la interacción hamiltoniana si, por ejemplo, los dos osciladores están conectados por un resorte).

Es importante destacar que los hamiltonianos de la forma (1) evolucionan de estados desenredados a desenredados, pero los hamiltonianos de la forma (2) pueden evolucionar de estados desenredados a enredados. Para ver esto, considere los siguientes cálculos.

Considere dos sistemas cuánticos descritos por hamiltonianos $H_1$ y $H_2$ , cuyos sistemas propios se describen por separado por

{\hat{H}}_{1} | ψ_{norte} ⟩ = ϵ_{norte} | ψ_{norte} ⟩, {\hat{H}}_{2} | ϕ_{norte} ⟩ = m_{norte} | ϕ ⟩ .

$\hat{H}_1|\psi_n\rangle = \epsilon_n|\psi_n\rangle,~~~~~\hat{H}_2|\phi_n\rangle = \mu_n|\phi\rangle.$ Consideremos primero el caso 1, en el que el hamiltoniano combinado del sistema combinado resulta ser

\begin{matrix} (1) & {\hat{H}}_{1} \otimes {\hat{I}}_{2} + {\hat{I}}_{1} \otimes {\hat{H}}_{2} \end{matrix}

$\begin{equation} \hat{H}_1\otimes\hat{I}_2+\hat{I}_1\otimes\hat{H}_2\tag{1} \end{equation}$ Entonces, los estados propios de este operador son el producto de los estados propios de los hamiltonianos individuales, y los valores propios son sumas de los valores propios individuales, que podemos demostrar calculando

({\hat{H}}_{1} \otimes {\hat{I}}_{2} + {\hat{I}}_{1} \otimes {\hat{H}}_{2}) (| ψ_{norte} ⟩ \otimes | ϕ_{metro} ⟩) = (ϵ_{norte} + m_{metro}) (| ψ_{norte} ⟩ \otimes | ϕ_{metro} ⟩) .

$\left(\hat{H}_1\otimes\hat{I}_2+\hat{I}_1\otimes\hat{H}_2\right)\left(|\psi_n\rangle\otimes|\phi_m\rangle\right) =(\epsilon_n+\mu_m)\left(|\psi_n\rangle\otimes|\phi_m\rangle\right).$ (Los detalles involucran solo el uso de la linealidad). Ahora, dado un estado inicial desenredado arbitrario

| Ψ (0) ⟩

$|\Psi(0)\rangle$ , se puede escribir como el producto de vectores expandidos en las autobases de energía individuales como

| Ψ (0) ⟩ = (\sum_{norte} a_{norte} | ψ_{norte} ⟩) \otimes (\sum_{metro} b_{norte} | ϕ_{metro} ⟩) = \sum_{norte metro} a_{norte} b_{metro} (| ψ_{norte} ⟩ \otimes | ϕ_{metro} ⟩) .

$|\Psi(0)\rangle = \left(\sum_{n}a_{n}|\psi_n\rangle\right)\otimes\left( \sum_{m}b_n|\phi_m\rangle\right) = \sum_{nm}a_nb_m \left(|\psi_n\rangle\otimes|\phi_m\rangle\right).$ Luego podemos obtener la dependencia total del tiempo agregando los factores exponenciales a los vectores propios de la manera habitual, obteniendo

| Ψ (t) ⟩ = \sum_{norte metro} {mi}^{- i (ϵ_{norte} + m_{metro}) t / ℏ} a_{norte} b_{metro} (| ψ_{norte} ⟩ \otimes | ϕ_{metro} ⟩) .

$|\Psi(t)\rangle = \sum_{nm}e^{-i(\epsilon_n+\mu_m)t/\hbar}a_nb_m \left(|\psi_n\rangle\otimes|\phi_m\rangle\right).$ Crucialmente, este estado factores como

| Ψ (t) ⟩ = (\sum_{norte metro} {mi}^{- i ϵ_{norte} t / ℏ} a_{norte} | ψ_{norte} ⟩) \otimes (\sum_{metro} {mi}^{- i m_{metro} t / ℏ} b_{metro} | ϕ_{metro} ⟩),

$|\Psi(t)\rangle=\left(\sum_{nm} e^{-i\epsilon_nt/\hbar} a_n|\psi_n\rangle\right)\otimes\left( \sum_{m} e^{-i\mu_mt/\hbar} b_m|\phi_m\rangle\right),$ y así, si el sistema comenzó desenredado, permanece desenredado. Esto es puramente una consecuencia del hecho de que el hamiltoniano es una suma de hamiltonianos de un solo sistema porque esto es lo que lleva a que las energías propias sean sumas de las individuales, lo que nos permite factorizar el exponencial.

Ahora, para ver que eso no funciona en el caso de un hamiltoniano de segunda forma, dado por

\begin{matrix} (2) & {\hat{H}}_{1} \otimes {\hat{H}}_{2}, \end{matrix}

$\hat{H}_1\otimes\hat{H}_2\tag{2},$ primero observamos que el producto de los vectores propios sigue siendo un vector propio, pero los valores propios ahora son productos de los valores propios individuales, es decir,

({\hat{H}}_{1} \otimes {\hat{H}}_{2}) (| ψ_{norte} ⟩ \otimes | ϕ_{metro} ⟩) = (ϵ_{norte} m_{metro}) (| ψ_{norte} ⟩ \otimes | ϕ_{metro} ⟩) .

$\left(\hat{H}_1\otimes\hat{H}_2\right)\left(|\psi_n\rangle\otimes|\phi_m\rangle\right) =(\epsilon_n\mu_m)\left(|\psi_n\rangle\otimes|\phi_m\rangle\right).$ Si comenzamos nuevamente con el estado inicialmente desenredado que se muestra arriba, entonces el estado dependiente del tiempo completo está dado por

| Ψ (t) ⟩ = \sum_{norte metro} {mi}^{- i (ϵ_{norte} m_{metro}) t / ℏ} a_{norte} b_{metro} (| ψ_{norte} ⟩ \otimes | ϕ_{metro} ⟩),

$|\Psi(t)\rangle = \sum_{nm}e^{-i(\epsilon_n\mu_m)t/\hbar}a_nb_m \left(|\psi_n\rangle\otimes|\phi_m\rangle\right),$ que ya no se puede factorizar en general!

Esto también se puede ver exponenciando los hamiltonianos directamente para obtener los operadores unitarios de evolución temporal. Para hamiltonianos de la forma (1), el operador de evolución temporal es

{tu}_{1} (t) = Exp (- \frac{i t}{ℏ} ({\hat{H}}_{1} \otimes {\hat{I}}_{2} + {\hat{I}}_{1} \otimes {\hat{H}}_{2})) = Exp (- \frac{i t}{ℏ} {\hat{H}}_{1} \otimes {\hat{I}}_{2}) Exp (- \frac{i t}{ℏ} {\hat{I}}_{1} \otimes {\hat{H}}_{2}),

$U_1(t) = \exp\left( -\frac{it}{\hbar} (\hat{H}_1\otimes\hat{I}_2+\hat{I}_1\otimes\hat{H}_2) \right) = \exp\left( -\frac{it}{\hbar} \hat{H}_1\otimes\hat{I}_2 \right) \exp\left( -\frac{it}{\hbar} \hat{I}_1\otimes\hat{H}_2 \right),$ lo cual está permitido porque los dos operadores viajan entre sí. Además, es relativamente sencillo mostrar que esto se puede escribir como

{tu}_{1} (t) = (Exp (- \frac{i t}{ℏ} {\hat{H}}_{1}) \otimes {\hat{I}}_{2}) ({\hat{I}}_{1} \otimes Exp (- \frac{i t}{ℏ} {\hat{H}}_{2})) = Exp (- \frac{i t}{ℏ} {\hat{H}}_{1}) \otimes Exp (- \frac{i t}{ℏ} {\hat{H}}_{2}) .

$U_1(t) = \left( \exp\left( -\frac{it}{\hbar} \hat{H}_1 \right) \otimes\hat{I}_2\right) \left(\hat{I}_1\otimes \exp\left( -\frac{it}{\hbar} \hat{H}_2 \right)\right) = \exp\left( -\frac{it}{\hbar} \hat{H}_1 \right) \otimes \exp\left( -\frac{it}{\hbar} \hat{H}_2 \right).$ Por lo tanto, se puede ver que este operador de evolución temporal "conserva la falta de enredo". El otro no factoriza de la misma manera.

¡Gracias por la gran respuesta! Entonces parece que los unitarios muestran un comportamiento opuesto al entrelazamiento que los hamiltonianos, ya que, para $|\Psi(0)\rangle$ desenredado, tenemos: $H_t|\Psi(0)\rangle$ se desenreda mientras $U_t|\Psi(0)\rangle$ está enredado, mientras que $H_k|\Psi(0)\rangle$ se enreda mientras $U_k|\Psi(0)\rangle$ está desenredado. Pero supongo que tiene más sentido mirar los unitarios al estudiar cómo se entrelazan los estados hamiltonianos.
¡Eso me parece correcto! Los hamiltonianos por sí solos no pueden entrelazar estados, porque el proceso de entrelazamiento claramente requiere algún proceso físico que lleva cierto tiempo. Por lo tanto, es necesario estudiar las unidades de tiempo-evolución. En cualquier caso, la acción de un operador arbitrario sobre un estado cuántico no corresponde a un proceso físico a menos que el operador sea un operador (unitario) de evolución temporal o el operador (que en realidad actúa generalmente sobre matrices de densidad) sea un miembro de un POVM (en cuyo caso, el operador corresponde a un proceso de medición).
El producto tensorial hace un producto de valores propios, mientras que la suma tensorial hace una suma (nota: el operador (matriz) suma no produce la suma de valores propios). ¿Significa que si uno suma los valores propios de las energías cinética y potencial, se lee: $(-\frac{\hbar^2\partial^2}{2m\partial x^2}+V(y))u(x,y)=Eu(x,y)$ para una sola partícula?
Me concentro en la diferencia entre matrices suma resp. Suma de Kronecker: ¿Deberíamos agregar operadores resp. ¿O sumamos sus resultados de medición (valores propios)?

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