¿Qué significa realmente que un modelo sea definible por puntos?

El primer punto es distinguir entre propiedades internas y externas . Esto se ve exacerbado por el hecho de que estamos analizando específicamente$\mathsf{ZFC}$, que es "hacer doble función" de la manera más confusa posible.

Sin embargo, la respuesta corta a su pregunta es: "$3$."

Primero, el lado interno de las cosas. Esto es relevante solo para el final de su pregunta.

Casi siempre, cuando decimos "La propiedad X no es expresable en primer orden", lo que queremos decir es "No hay una oración de primer orden".$\varphi$tal que para cada estructura apropiada$\mathcal{M}$, tenemos$\mathcal{M}\models\varphi$si y si$\mathcal{M}$tiene la propiedad X." Entonces, por ejemplo, ser un grupo de torsión no es expresable en primer orden.

En particular, "La definibilidad puntual no es expresable en primer orden" es una consecuencia del siguiente resultado quizás más simple:

Toda estructura (infinita) definible por puntos es elementalmente equivalente a una estructura no definible por puntos.

La afirmación anterior se hace y se prueba dentro de$\mathsf{ZFC}$. El "arma nuclear" es hacia arriba Lowenheim-Skolem:

• $\mathsf{ZFC}$demuestra "si$\mathcal{M}$es una estructura definible por puntos, entonces$\mathcal{M}$es contable".

  • Espera, ¿ qué ? Vea el final de esta respuesta.

• $\mathsf{ZFC}$también prueba "Toda estructura infinita$\mathcal{M}$es elementalmente equivalente a una estructura infinita de cardinalidad estrictamente mayor".

• Poniendo estos juntos, tenemos el resultado deseado.

Como corolario, tenemos lo siguiente (de nuevo probado en$\mathsf{ZFC}$):

Para toda teoría de primer orden$T$, cualquiera$T$no tiene modelos definibles puntualmente en absoluto o la clase de modelos definibles puntuales de$T$no es una clase de primaria.

(Necesitamos la primera cláusula en caso de que la clase relevante sea$\emptyset$. De hecho, esto puede suceder, incluso si$T$es consistente: considere la teoría de un conjunto puro con dos elementos.)

Pero la mayor parte del problema en su OP es sobre el lado externo de las cosas. Aquí está su tercera opción que se mantiene, de la siguiente manera:

• Enunciamos y probamos cada hecho relevante$\mathsf{A}$adentro$\mathsf{ZFC}$.

• ... Excepto que a veces, como cuestión de práctica, somos descuidados, y (las dos opciones son equivalentes) en realidad usamos un sistema más fuerte$\mathsf{ZFC+X}$o probar$\mathsf{X}\rightarrow\mathsf{A}$para algún principio adicional "tácito pero claro por el contexto" (:P)$\mathsf{X}$. Candidatos estándar para$\mathsf{X}$incluyen los principios estándar de "coherencia generalizada" ("$\mathsf{ZFC}$tiene un modelo/$\omega$-modelo/modelo transitivo") y, de manera mucho menos benigna, pero desafortunadamente con una frecuencia distinta de cero, toda la serie de grandes axiomas cardinales.

Sin embargo, me parece que el artículo de HLR es bastante bueno en este punto. Por ejemplo, el primer punto del Teorema$3$es "si$\mathsf{ZFC}$es consistente, entonces hay muchos modelos continuos no isomorfos definibles puntualmente de$\mathsf{ZFC}$", que es de hecho un$\mathsf{ZFC}$-teorema. (Sin embargo, podría estar perdiendo una elisión en otro lugar).

Como coda, tenga en cuenta que arriba mencioné que$\mathsf{ZFC}$demuestra que toda estructura definible por puntos es contable. Lo hace, además, exactamente por el "argumento del té matemático". Entonces, ¿qué da?

Bueno, tenemos que desglosar lo que significa "Toda estructura definible por puntos es contable" cuando lo expresamos en$\mathsf{ZFC}$. Cuando decimos "$\mathcal{M}$es definible puntualmente", lo que queremos decir es que hay una asignación apropiada de valores de verdad a pares que consisten en fórmulas del lenguaje y tuplas de aridad apropiada tal que [cosas]. Esta gota de datos existe "un nivel más alto" que$\mathcal{M}$sí mismo, y en particular incluso el bit de esta gota que verifica que cada elemento de$\mathcal{M}$satisface "$x=x$" es una colección de$\mathcal{M}$-muchos hechos. Como tal:

Usando la definición de "todo a la vez" de$\models$, que está totalmente bien para estructuras de tamaño establecido, tenemos$\mathsf{ZFC}\vdash$"$V\not\models \forall x(x=x)$."

Jejejeje.

Esto se debe a que la expresión "$V\not\models\forall x(x=x)$," si tratamos de interpretarlo directamente como arriba, es una abreviatura de: "Hay una función con dominio$V\times Formulas(\{\in\})$tal que ..." y eso está muerto al llegar ya que no hay funciones con dominio como$V$en primer lugar.

así que en realidad$\mathsf{ZFC}$ prueba "$V$no es definible puntualmente ", siempre que formulemos esto a ciegas. Pero si hacemos eso, entonces tenemos que admitir que$\mathsf{ZFC}$ también prueba, por ejemplo, "No hay oración que$V$satisface." Lo cual... sí.

Por cierto, lo anterior debería hacer que te preocupes por un par de cosas:

• Relativamente benigno, es la definición de "todo a la vez" de$\models$ realmente apropiado para estructuras del tamaño de un conjunto? De hecho lo es, pero esto no es del todo trivial. Específicamente, el$\mathsf{ZFC}$Los axiomas son lo suficientemente fuertes como para realizar la construcción recursiva de la teoría de una estructura, y así probar que para cada estructura (del tamaño de un conjunto)$\mathcal{M}$hay exactamente una relación entre fórmulas y tuplas de$\mathcal{M}$satisfaciendo las propiedades deseadas. Las teorías más débiles no tienen por qué ser tan buenas: mientras que cualquier teoría no totalmente estúpida puede demostrar que, como máximo, existe una "cosa parecida a una teoría" para una estructura dada, si nos debilitamos lo suficiente, perdemos la capacidad de llevar a cabo la teoría de Tarski. "algoritmo." (Afortunadamente, de hecho tenemos que ir bastante débiles; vea mi respuesta aquí ).

• Más fundacionalmente, ¿por qué estamos tan alegres acerca de cómo formulamos varias afirmaciones matemáticas en el lenguaje de la teoría de conjuntos? Por supuesto, esto no es nada nuevo, y en particular la observación anterior de que en un sentido preciso$\mathsf{ZFC}$demuestra "$V$no satisface$\forall x(x=x)$" es solo otro ejemplo de un teorema basura . Sin embargo, en mi opinión, es uno de los más preocupantes: a diferencia de, por ejemplo, "¿Es$\pi\in 42$?, no está del todo claro que$V\models \forall x(x=x)$?" es algo que nunca preguntaríamos accidentalmente en las matemáticas del día a día. En última instancia, todavía no estoy preocupado, pero creo que esto resalta la seriedad de la pregunta "¿Es$X$una traducción fiel de$Y$?"

• Finalmente, en un nivel puramente técnico: ¿qué pasa con las teorías de conjuntos que permiten funciones en el universo, y con respecto a las cuales, por lo tanto, el "ingenuo interno$V\models ...$"-la situación no es trivial? Bueno, según Tarski/Godel(/etc.) sabemos que las cosas aún tienen que ser desagradables. Vea el final de esta vieja respuesta mía para un análisis rápido del caso específico de$\mathsf{NF}$.