¿Por qué los generadores SU(2)SU(2)SU(2) se interpretan como componentes *espaciales* del espín?

Un$SU(2)$la simetría, a priori, no tiene absolutamente nada que ver con las rotaciones espaciales. Por ejemplo, la simetría entre protones y neutrones se describe mediante isospin, un$SU(2)$simetría que trata al protón y al neutrón como los estados de espín hacia arriba y hacia abajo de un espín$1/2$partícula. De manera similar, existe un isospín débil, también descrito por$SU(2)$, que relaciona el electrón con el neutrino electrónico. Ninguno de estos está relacionado con las rotaciones, excepto que las matemáticas son las mismas; no puedes hacer una rotación física para convertir un protón en un neutrón. (Sin embargo, la analogía con el giro es tan útil para conceptualizar lo que está pasando que todos tienen la palabra 'giro' en sus nombres).

Si un libro de texto dice "hemos identificado un$SU(2)$simetría, por lo que debe corresponder físicamente a la simetría rotacional", entonces ese libro está siendo descuidado. El argumento debe expresarse a la inversa. A continuación, mostraré cómo va eso de manera muy explícita.

Empezamos con datos experimentales que queremos entender. Por ejemplo, supongamos que queremos modelar la precesión del momento dipolar magnético de un núcleo en un campo magnético variable en el tiempo. (Resulta que este momento dipolar es proporcional al giro, así que esto es exactamente lo que está preguntando). Para hacer un modelo de mecánica cuántica, debemos definir un espacio de Hilbert y un hamiltoniano, así como operadores$\mu_i$correspondientes a las componentes del momento dipolar magnético.

Por supuesto, no existe una receta matemática única para esto. Por ejemplo, puede elegir que el espacio de Hilbert sea de dimensión cero, pero claramente no se ajustaría a los datos. Resulta que para algunos núcleos el modelo funciona si elegimos que el espacio de Hilbert sea bidimensional, con los estados$|\uparrow\rangle$y$|\downarrow\rangle$correspondiente al momento dipolar apuntando verticalmente hacia arriba y hacia abajo. En otras palabras, esto define$\mu_z$como

A continuación, definimos operadores de rotación que giran físicamente el sistema. Sabemos que clásicamente, las rotaciones del espacio forman un grupo$SO(3)$. Debido a problemas con las fases cuánticas, esto significa que los operadores de rotación deben ser necesariamente una representación del grupo$SU(2)$. Esto es un poco extraño, pero es algo a lo que te acostumbras después de un tiempo: generalmente hay un procedimiento matemático de girar la manivela para averiguar qué grupo usar en el caso cuántico.

Sin embargo, todavía no sabemos qué representación de$SU(2)$es. Por ejemplo, es posible que todos los operadores rotacionales no hagan nada; esa es exactamente la elección correcta para la simetría de isospin (ignorando los giros del protón y el neutrón) porque no se puede rotar un protón en un neutrón. Pero no es la elección correcta para los momentos magnéticos, porque podemos observar que inclinar el imán y volver a ejecutar el experimento da un resultado diferente.

También sabemos que una rotación sobre el$z$el eje debe arreglar$|\uparrow \rangle$y$|\downarrow \rangle$, de nuevo por observación, mientras que$180^\circ$rotaciones sobre el$x$y$y$los ejes deben intercambiar estos estados. (Aquí todo depende de las fases). No podemos avanzar más y obtener expresiones explícitas porque variarán dependiendo de las fases de los estados. Pero en las convenciones de fase estándar, uno puede continuar con esta lógica para mostrar que el$\mu_i$todos los operadores deben ser proporcionales a$\sigma_i$, y los operadores de rotación son exponenciales de$\sigma_i$. Esto se describe en detalle aquí .

Este es un argumento bastante largo y muy explícito para hacer un punto simple: en física, no hacemos matemáticas a ciegas y ponemos la interpretación física al final. Comenzamos con un sistema físico que queremos describir y definir objetos matemáticos en consecuencia. Sabemos que las rotaciones deben ser descritas por$SU(2)$por principios generales, por lo que definimos un espacio de Hilbert con una representación de$SU(2)$. ¿Cuál? Lo que sea que funcione.

La logica es como sigue:

1. $SU(2)\cong SPIN(3)$.

2. Más generalmente,$G:=SPIN(n)$es la es la doble cubierta del grupo de rotación$SO(n)$.

3. $G$actúa a través de la representación adjunta en su álgebra de Lie$\mathfrak{g}:=\mathfrak{so}(n)$.

4. Cada elemento del álgebra de Lie$\mathfrak{g}:=\mathfrak{so}(n)$genera una rotación infinitesimal, es decir, es un momento angular.

5. El álgebra de la mentira$\mathfrak{g}:=\mathfrak{so}(n)\cong \bigwedge^2 V$se puede identificar con el conjunto de 2 planos (es decir, planos de rotación) en$n$-espacio$V\cong \mathbb{\mathbb{R}^n}$. Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.

6. Para$n=3$, tenemos$\bigwedge^2 V\cong V$, es decir, los elementos de$\mathfrak{su}(2)\cong\mathfrak{so}(3)$se puede identificar con 3 espacios$V$sí mismo.