¿Cómo definir el momento angular orbital en otras dimensiones que no sean tres?

Querido asmaier, no deberías ver$\vec L = \vec x \times \vec p$como una "definición" primaria de la cantidad, sino más bien como un resultado no trivial de un cálculo.

El momento angular se define como la cantidad que se conserva debido a la simetría rotacional, y esta definición es completamente general, ya sea que las leyes físicas sean cuánticas, relativistas, ambas o ninguna, y que sean o no mecánicas o teoría de campos.

Para derivar una carga conservada, se puede seguir el procedimiento de Noether que se cumple para cualquier par de una simetría y una ley de conservación:

http://en.wikipedia.org/wiki/Noether_charge

En particular, el momento angular no tiene ningún problema para ser evaluado en relatividad, cuando el fondo es rotacionalmente simétrico. El hecho de que escribas$\vec L$ya que un vector es solo un dispositivo de contabilidad para recordar los tres componentes. Más naturalmente, incluso fuera de la relatividad, deberías imaginar

$$L_{ij} = x_i p_j - x_j p_i$$ es decir $L_{ij}$es un tensor antisimétrico con dos índices. Tal tensor, o forma de 2, se puede asignar a un vector de 3 a través de $L_{ij} = \epsilon_{ijk} L_k$pero no tiene que ser. Y en relatividad, no debería. Entonces, en relatividad, uno puede derivar el momento angular $L_{\mu\nu}$que contiene los 3 componentes habituales $yz,zx,xy$(conocido como $x,y,z$componentes de $\vec L$) así como 3 componentes adicionales $tx,ty,tz$asociado con los impulsos de Lorentz que saben algo sobre la conservación de la velocidad del centro de masa.

Por cierto, el general$x\times p$Ansatz no obtiene ninguna "gamma" adicional u otras correcciones a altas velocidades. Es porque puedes imaginar que es el generador de rotaciones, y las rotaciones son traslaciones (generadas por$\vec p$) que dependen linealmente de la posición$x$. Así que la fórmula permanece esencialmente sin cambios. En fondos curvos típicos que aún conservan el momento angular, los otros componentes no espaciales del tensor de momento angular relativista generalmente no se conservan porque el fondo no puede ser simétrico al impulso de Lorentz en el mismo momento.