¿Cómo se define el producto L⋅SL⋅SL\cdot S entre los operadores de momento angular orbital y de espín? ¿Actúan en el mismo o en diferentes espacios de Hilbert?

Question

¿Cómo se define el producto L⋅SL⋅SL\cdot S entre los operadores de momento angular orbital y de espín? ¿Actúan en el mismo o en diferentes espacios de Hilbert?

Souradeep

Para un electrón, ¿los espacios de Hilbert para el momento angular de espín y el momento angular orbital son iguales o son diferentes? Si son diferentes, ¿cómo justificamos el operador? $L\cdot S$ en acoplamiento espín-órbita?

También para el acoplamiento de 2 giros, ¿cuál es el espacio de Hilbert que se considera? Lo es $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$ como creo que debe ser o de otra manera? Si es lo que creo que debería ser, ¿cuál es el significado del operador? $S_1\cdot S_2$ ?

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¿Cómo se define el producto L⋅SL⋅SL\cdot S entre los operadores de momento angular orbital y de espín? ¿Actúan en el mismo o en diferentes espacios de Hilbert?

Emilio Pisanty · Answer 1

Para ambas situaciones que está considerando, los espacios vectoriales son diferentes y el espacio de estado conjunto es el producto tensorial de los espacios vectoriales individuales.

Para describir operadores en este espacio, simplemente usamos el producto tensorial de operadores: si $\hat{L}_z:\mathcal H_\mathrm{orb} \to \mathcal H_\mathrm{orb}$ y $\hat{S}_z:\mathcal H_\mathrm{spin} \to \mathcal H_\mathrm{spin}$ , entonces su producto tensorial

{\hat{L}}_{z} \otimes {\hat{S}}_{z} : H_{o r b} \otimes H_{s pag i norte} \to H_{o r b} \otimes H_{s pag i norte}

$\hat{L}_z\otimes \hat{S}_z:\mathcal H_\mathrm{orb}\otimes \mathcal H_\mathrm{spin} \to \mathcal H_\mathrm{orb} \otimes \mathcal H_\mathrm{spin}$ se define únicamente por su acción sobre los estados del producto

({\hat{L}}_{z} \otimes {\hat{S}}_{z}) | ψ ⟩ \otimes | ϕ ⟩ = ({\hat{L}}_{z} | ψ ⟩) \otimes ({\hat{S}}_{z} | ϕ ⟩)

$(\hat{L}_z\otimes \hat{S}_z)|\psi⟩\otimes |\phi⟩ = (\hat{L}_z|\psi⟩)\otimes (\hat{S}_z|\phi⟩)$ y por linealidad.

Además de esa estructura, a menudo consideramos operaciones vectoriales en los caracteres vectoriales de esos operadores, incluido en particular su producto escalar

\hat{L} \overset{\otimes}{\cdot} \hat{S} = \sum_{j = 1}^{3} {\hat{L}}_{j} \otimes {\hat{S}}_{j} .

$\hat{\mathbf{L}} \stackrel{\otimes}{\cdot} \hat{\mathbf{S}} = \sum_{j=1}^3 \hat{L}_j\otimes \hat{S}_j.$ Este es un producto punto legítimo en el sentido de que uno puede demostrar que no depende de la base con respecto a la cual se toman los componentes, porque cada componente se transforma como un vector y, por lo tanto, aún se aplican las técnicas de prueba habituales.

Ahora, en la práctica, normalmente eliminamos las marcas explícitas del producto tensorial $\otimes$ a menos que realmente necesitemos la claridad, porque la estructura suele ser clara a partir del contexto (de modo que un producto como $\hat{L}_z\hat{S}_z$ generalmente no es ambiguo) y las marcas explícitas agregan volumen de notación y, por lo tanto, hacen que todo sea más difícil de leer. Por lo tanto, lo que normalmente verá es una notación de la forma

\hat{L} \cdot \hat{S} = \sum_{j = 1}^{3} {\hat{L}}_{j} {\hat{S}}_{j} .

$\hat{\mathbf{L}} \cdot \hat{\mathbf{S}} = \sum_{j=1}^3 \hat{L}_j \hat{S}_j.$ en el que están implícitos los productos tensoriales entre operadores que actúan sobre diferentes sectores del espacio de estados.

Sí, tienes razón y eso es exactamente lo que pensé. Sin embargo, cuando leí sobre la interacción de intercambio, tenía los siguientes pasos: $H=-\sum\limits_{i,j}J_{ij}S_i.S_j+g\mu_B\sum\limits_iS_i.B=g\mu_B\sum\limits_iS_i.(B+B')$ , dónde $B'=-\frac{2}{g\mu_B}\sum\limits_j(J_{ij}S_j)$ . Que yo sepa, un campo magnético no se considera un operador en este caso y, aunque lo sea, no está en el mismo espacio que el espín. $B'$ . Por lo tanto, si considero que su definición es correcta (lo que intuitivamente parece serlo), entonces esta derivación debe ser incorrecta, lo que conduce a una formulación incorrecta del ferromagnetismo.
@Souradeep, el estado del operador del campo magnético depende del contexto; en el formalismo que cita, está trabajando en una formulación efectiva en la que se han eliminado los aspectos QED a los que se refiere, por lo que la identificación de $B'$ como operador dependiente del $S_j$ es perfectamente legitimo. Nada en tu comentario anterior se ve mal. (A menos que lo que le moleste sea la adición de $B$ con $B'$ ? Allá $B$ es solo un $c$ -número escalar, que trivialmente se resuelve en ese escalar multiplicado por cualquier matriz de identidad que necesite incluir. no hay nada malo con $B+B'$ .)
Oh ya entiendo. Así que cuando uno escribe SB implica $\sum\limits_iS_i\otimes\mathbb{1}B_i$ . Muchas gracias por la aclaración. Realmente lo aprecio.
Precisamente, pero tenga en cuenta que, de hecho, es mucho más extenso. si tienes $n$ gira y desea una notación de producto tensorial totalmente rigurosa para $S_i$ , lo que realmente deberías estar escribiendo es $1\otimes \cdots \otimes 1\otimes S_i \otimes 1\otimes \cdots \otimes 1$ , con $i-1$ factores a la izquierda y $n-i-2$ factores a la derecha, porque su espacio de Hilbert es el $n$ producto tensorial -fold del espacio de estado de un solo giro y si desea ser completamente riguroso, debe especificar que la acción en los otros factos es la identidad. Esto es lo que quise decir cuando dije que esto "agrega volumen notacional".
Sí, ese es exactamente el formalismo que usé para la derivación anterior después de que se aclaró el problema anterior. Muchas gracias por la comprensión.

¿Cómo se define el producto L⋅SL⋅SL\cdot S entre los operadores de momento angular orbital y de espín? ¿Actúan en el mismo o en diferentes espacios de Hilbert?

Souradeep

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Emilio Pisanty

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