Estados triplete y singlete: ¿fermiónico o bosónico?

Supongamos que tenemos dos partículas de espín-1/2 sin momento angular orbital. Elegimos trabajar con la base propia del momento angular total S 2 y S z , que nos da el triplete y el singlete establece:

( s = 1 , t r i pag yo mi t , s y metro metro mi t r i C ) { | 11 ⟩ = | ↑↑ ⟩ | 10 ⟩ = 1 2 ( | ↑↓ ⟩ + | ↓↑ ⟩ ) | 1 − 1 ⟩ = | ↓↓ ⟩ ( s = 0 , s i norte gramo yo mi t , a norte t i s y metro metro mi t r i C ) { | 00 ⟩ = 1 2 ( | ↑↓ ⟩ − | ↓↑ ⟩ )

  1. Tanto el estado triplete como el singlete tienen espines totales de valor entero. Esto sugiere que el sistema compuesto de dos partículas de espín 1/2 se comporta bosónicamente. Aunque el estado triplete respeta esto al ser totalmente simétrico, el estado singlete es totalmente antisimétrico. Dado que no hay otras partes de la función de onda que podamos antisimetrizar, estamos atrapados en un estado totalmente antisimétrico que describe s = 0 , que es para bosones. ¿Qué me estoy perdiendo aquí que da lugar a esta contradicción?

  2. ¿Los cuatro estados enumerados arriba siempre están permitidos? ¿O depende de si las dos partículas de espín 1/2 son idénticas o distinguibles ?

    Estoy pensando que si son distinguibles, entonces los cuatro estados están permitidos, teniendo en cuenta mi confusión descrita en la Pregunta 1 (es decir, creo que el sistema debería comportarse bosónicamente, pero el estado singlete es antisimétrico).

    Si las partículas son idénticas, entonces no puedo diferenciarlas y, por lo que sé, tengo un sistema compuesto de dos fermiones y sé que el estado compuesto debe ser antisimétrico. Por lo tanto, solo se permitiría el estado singlete.

Respuestas (2)

  1. No hay contradicción. El giro de una partícula no es su único atributo. Un estado de dos fermiones debe ser antisimétrico con respecto al intercambio de todos sus atributos, no solo del espín. Si el estado es simétrico con respecto al intercambio de sus espines , entonces es antisimétrico con respecto al intercambio de sus otros atributos (como la ubicación o el impulso, que no se muestran en el OP), y viceversa.

  2. Los cuatro estados mostrados están permitidos ya sea que las partículas sean distinguibles o "idénticas" (misma especie). Para el caso de partículas idénticas, considere los dos electrones en ortohelio y parahelio ( https://en.wikipedia.org/wiki/Helium_atom ). Para el caso de partículas no idénticas, considere los diversos estados posibles de un átomo de hidrógeno, teniendo en cuenta la configuración paralela o antiparalela del espín electrón/nucleon ( http://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_12.html ) .

Ok, esto es lo que inicialmente pensé también, pero luego no pude razonar a través de la pregunta 7.3 de Sakurai. Sin embargo, si adopta la perspectiva presentada en OP, obtendrá la respuesta correcta para el problema 7.3. No mencioné esto en OP porque no estoy haciendo una pregunta específica sobre cómo resolver ese problema, pero estoy más interesado en aprender los conceptos detrás de él. Por ejemplo, en la solución de 7.3, afirmamos que solo los estados de espín se pueden hacer simétricos/antisimétricos, por lo que para ese problema, el subconjunto antisimétrico debe ser rechazado. Tienes acceso a ese problema?
No tengo acceso al libro de Sakurai en este momento, así que no estoy seguro de cuál es la laguna. ¿La pregunta 7.3 está considerando un caso en el que los fermiones están en el mismo estado espacial, como se describe en la respuesta de @AndrewSteane?
Sakurai 7.3 se refiere a las restricciones que tenemos sobre los estados de espín para el caso de dos partículas de espín-1 que son idénticas. Saliendo de su punto en el n. ° 1, pensé que no habría restricciones en los estados de giro porque los estados espaciales siempre podrían elegirse para garantizar un estado simétrico general. Pero de acuerdo con la solución, debemos prohibir todos los estados antisimétricos y solo permitir que existan los simétricos.
@Ptheguy Para dos partículas de espín-1, el estado debe ser simétrico con respecto al intercambio de todos sus atributos, suponiendo que las partículas de espín-1 sean bosones como de costumbre. Redacté la respuesta para fermiones, porque la pregunta especificaba dos partículas de espín-1/2 (teorema de estadísticas de espín), y esto coincidía con las ecuaciones escritas en el OP. Para dos bosones de espín 1, el estado general debe ser simétrico en lugar de antisimétrico, por lo que si ya es simétrico en todos los atributos que no son de espín, entonces también debe ser simétrico en el espín.
Por supuesto, pero, ¿cómo dedujiste que el estado es "simétrico en todos los atributos que no son de giro"? ¿Concluiste eso solo por el hecho de que se dice que las partículas son idénticas? Si es así, ¿por qué? Si no, ¿cómo lo conseguiste?
@Ptheguy No llegué a esa conclusión. Estaba haciendo una declaración si-entonces. Si el estado de 2 bosones resulta ser simétrico en todos los atributos que no son de espín, entonces también debe ser simétrico en el espín. Todavía no tengo acceso a Sakurai, así que me temo que podría estar confundiendo el problema al tratar de cubrir todas las bases y ofrecer ejemplos posiblemente no relacionados.
Ya veo, soy bueno en el escenario de todos los casos. Es solo que en el problema de Sakurai, él no menciona nada más que el giro, y a partir de eso debemos configurar los estados de giro para que sean simétricos. Supongo que si nos dicen que las partículas son idénticas, no debemos tener otra información a nuestra disposición; de lo contrario, podríamos haber sido capaces de distinguirlas. Como tal, debemos configurar todos los estados de espín para que sean simétricos, ya que solo ellos soportan el peso de garantizar la simetría del estado general.
@Ptheguy Me pregunto si el autor está usando las palabras "las partículas son idénticas" para indicar que están en el mismo estado (excepto posiblemente por sus giros) en lugar de ser simplemente la misma especie. Entonces tendríamos suficiente información para determinar la simetría/antisimetría del estado de espín. Cada vez que leo algo en un libro de física respetable que no entiendo, me pregunto: "¿Me estoy perdiendo un concepto clave o es solo un caso de lenguaje ambiguo?" A menudo resulta ser lo último, pero eso puede ser difícil de diagnosticar. Y estoy bastante seguro de que no soy el único que lucha con esto.

Primero en su punto 1. No hay contradicción entre un sistema de dos espines que tiene un estado antisimétrico con respecto al intercambio de sus componentes, pero que es simétrico con respecto al intercambio de ese par con algún otro par.

El sistema de dos giros es, en general, bosónico, como dices. En particular, el estado singlete tiene las propiedades correctas para ser un S = 0 estado. Por ejemplo, no cambia bajo rotaciones del sistema de coordenadas.

Uno puede tomar cualquier número de pares de fermiones en tal estado y empujarlos a todos al mismo estado espacial. Si estos fermiones son todos indistinguibles entre sí, entonces el estado será simétrico con respecto al intercambio de un par con cualquier otro par, y antisimétrico con respecto al intercambio de un fermión con cualquier otro fermión.

Ahora el punto 2. Un par de fermiones tiene propiedades espaciales y de espín. Su estado conjunto a veces se puede factorizar en una parte espacial en un producto tensorial con una parte de espín. Esto no siempre sucede. Ya sea que el estado pueda factorizarse o no, tiene que ser antisimétrico con respecto al intercambio de esos dos fermiones si los fermiones son un par del mismo tipo de partícula (por ejemplo, dos electrones). Si el estado se puede factorizar, entonces su antisimetría general se logra si:

el estado de espín es el singlete y el estado espacial es simétrico

o el estado de espín es el triplete y el estado espacial es antisimétrico

Por lo tanto, si cualquier tipo de estado espacial está disponible para el sistema, también lo estará cualquier tipo de estado de espín. Si las dos partículas están en el mismo estado espacial, entonces el estado espacial general no puede evitar ser simétrico, por lo que en ese caso el estado de espín debe ser el singulete.

(1) En su punto #2, parece que el sistema de dos electrones debe tener un estado general antisimétrico. Pero, ¿no llegamos a la conclusión de que el sistema de dos partículas de espín 1/2 se comporta bosónicamente? Creo que aprobó esta conclusión en su publicación anterior. (2) Además, entiendo correctamente que cuando tienes un sistema de partículas idénticas y los estados espaciales están disponibles, entonces esos estados son simétricos; y si el sistema tiene partículas no idénticas , entonces podemos formar estados espaciales antisimétricos?
Seguimiento: con respecto a (1) en mi comentario anterior, creo que mi confusión se debió a que pasó por alto su énfasis en el intercambio de un par de fermiones frente a un solo fermión. Creo que con eso en mente, estoy bien en este frente. Además, creo que la respuesta a (2) es no. La parte espacial se puede convertir en simétrica o antisimétrica como cualquier otro estado.
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