¿Por qué los cardenales inaccesibles/el modelo de Solovay siempre se excluyen en los textos de teoría de la medida?

Así que perdóname por un momento, ya que solo me siento cómodo con los MUY básicos de la medida de Lebesgue, en este momento. Pronto tomaré un curso al respecto, pero aparte de las definiciones y propiedades básicas, no estoy familiarizado.

Sé que la inexistencia de un conjunto no medible requiere la suposición de que existe un cardinal inaccesible. El modelo de Solovay asume la existencia de un inaccesible, y creo que fue Shelah quien probó que esta suposición es necesaria. Por lo tanto, se siente como un resultado MUY importante para discutir cualquier cosa relacionada con la teoría de la medida. Mis preguntas son las siguientes:

  1. ¿Qué importancia tiene la suposición de que no existe un conjunto no medible para el estudio de la teoría de la medida como un todo? ¿Suponer que existe un cardinal inaccesible en la teoría de la medida es análogo a suponer una elección en álgebra lineal o análisis funcional?
  2. ¿Por qué esto NUNCA se discute en los textos de teoría de la medida? Revisé a Tao, Rudin, Royden, Halmos, Stein y Shakarchi, y ninguno de ellos siquiera MENCIONÓ esto. Sí sé que una discusión completa sobre el modelo de Solovay requiere una teoría de conjuntos sólida que podría no ser adecuada para los estudiantes que leen el libro (forzar, en particular), pero ¿por qué no MENCIONAR que se requiere, incluso sin prueba?

Aceptaría una respuesta de "no se requiere que los estudiantes conozcan la teoría de conjuntos avanzada", si no fuera por el hecho de que estos ni siquiera se mencionan sin pruebas o explicaciones adicionales. La interacción entre AC, DC, "Existe un cardinal inaccesible" y "Existe un conjunto no medible" es emocionante e interesante, y me sorprende que nunca se mencione en los textos introductorios.

En mi experiencia, para obtener conjuntos inconmensurables, debes esforzarte deliberadamente en jugar juegos con el Axioma de Elección. Casi todos los conjuntos con los que te gustaría trabajar son medibles
Tienes 100% de razón @bof. Edito mi publicación ahora para reflejar esto. ¿Y este es el resultado que Shelah probó requiere un inaccesible?
Me doy cuenta de que esto es esencialmente irrelevante para su punto principal, pero pensé que valía la pena mencionar que Halmos no debería incluirse, ya que su libro se publicó en 1950 y no se publicaron ediciones posteriores, solo reimpresiones posteriores.
Buen punto. En realidad no sabía esto.
Para su información, mi propia versión de una pregunta como esta se encuentra al final de mi respuesta a ¿ Existe un máximo para la cantidad de subconjuntos no medibles separados del intervalo unitario con medida exterior completa?

Respuestas (1)

La teoría de la medida trata con conjuntos medibles. Si estos son o no todos ellos es irrelevante. Además, dado que la base estándar incluye el Axioma de Elección (y es, como mínimo, un concepto importante que vale la pena entender), es un error rotundo no tener una discusión sobre conjuntos no medibles. Pero después de discutir eso, la teoría de la medida se centra en conjuntos medibles y álgebras de medida.

El modelo de Solovay es uno donde para la medida de Lebesgue, el álgebra de medida es PAG ( R ) . Más allá de eso, tiene muy poco que ofrecer. si, cada F : R → R satisfactorio F ( X + y ) = F ( X ) + F ( y ) es de la forma a ⋅ X , pero realmente lo que demostramos es que cada solución de medida es de esa forma, y ​​en el modelo de Solovay sucede que cada solución es medible.

Sin mencionar que si avanzas al estudio de medidas finitamente aditivas y alcanzas cosas como la integración de Bartle, trabajar en el modelo de Solovay (o incluso en el modelo de Shelah donde todos los conjuntos tienen la propiedad de Baire) quita algo de interés, ya que ℓ 1 es reflexivo, y por lo tanto no hay medidas no triviales finitamente aditivas en norte .

Entonces, ¿por qué no lo mencionan en absoluto? No sé. El curso de teoría de la medida que tomé se basó en el libro "Análisis real" de Folland. Creo que hay una mención del resultado de Solovay, aunque como una nota al pie. Quizá merezca la pena dedicar un par de páginas a este modelo, sí. Pero viendo cómo el Axioma de Elección está tan arraigado en las matemáticas modernas, y cómo la teoría de la medida se centra en medidas y álgebras de medida de todos modos, la omisión es bastante comprensible.

¿Por qué los cardenales inaccesibles/el modelo de Solovay siempre se excluyen en los textos de teoría de la medida?
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