¿Por qué las tensiones de los sistemas continuos se describen a través de un tensor?

Aplicando una fuerza en el$x$-la dirección puede cambiar la forma del material en el$y$-dirección. La única forma de capturar tal efecto es a través de un tensor.

Si tienes una fuerza general actuando sobre tu cuerpo

$$\vec F = (F_x, F_y, F_z)^T$$ y te interesa la reacción del cuerpo al observar su deformación $$\vec \epsilon = (\epsilon_x, \epsilon_y, \epsilon_z)^T$$ la deformación en la dirección x $\epsilon_x$debería (en el límite de Hook) depender linealmente de las fuerzas, lo mismo para el $\epsilon_y$y $\epsilon_z$, es decir $$\epsilon_x = E_{xx} F_x + E_{xy} F_y + E_{xz} F_z$$ y de manera similar $$\epsilon_y = E_{yx} F_x + E_{yy} F_y + E_{yz} F_z$$ $$\epsilon_z = E_{zx} F_x + E_{zy} F_y + E_{zz} F_z.$$

Estas tres ecuaciones pueden ser capturadas por una ecuación vectorial

$$\vec \epsilon = \tilde E \vec F$$ o en componentes $$\epsilon_i = \sum_{k=1}^3 E_{ik} F_k$$

Por supuesto, puede haber el caso especial de que todos los elementos fuera de la diagonal sean cero, entonces simplemente recuperas$\epsilon_x = E_{xx} F_{x}$y similares para$y, z$.

Finalmente, ¿cómo sabemos que$\tilde E$Qué es un tensor y no sólo un conjunto de números? Para esto necesitamos mirar las propiedades de transformación. La Fuerza obviamente es un vector, es decir, bajo rotaciones (empleando la convención de Einstein)

$$F_i \to R_{ij} F_j \quad \text{or} \quad \vec F \to \mathbf R \vec F$$ también $\vec \epsilon$debe comportarse como un vector propio $$\epsilon_i \to R_{ij} \epsilon_j \quad \text{or} \quad \vec \epsilon \to \mathbf R \vec \epsilon$$ . Reemplazando esto en nuestra ecuación vectorial encontramos después de la rotación $$\mathbf R \vec \epsilon = \tilde E'\mathbf R \vec F.$$ Para que el lado derecho sea un vector tiene que tener la forma $\mathbf R (\tilde E \vec F)$, lo que implica que bajo rotaciones $$\tilde E \to \tilde E' =\mathbf R \tilde E\mathbf R^{-1}$$ que es exactamente la propiedad definitoria de un tensor.

(nota sobre notación, usé$\tilde{}$para identificar tensores y negrita para matrices de rotaciones).

Es un teorema bastante famoso debido a Cauchy.

Considere una porción interna$S$de un cuerpo continuo$C$. Sobre él actúan dos tipos de fuerzas: Fuerzas proporcionales a la masa, de la forma

$$\int_V \mu(x) \vec{f}(x) d^3x\tag{0}$$ dónde $\vec{f}(x)$es la densidad de fuerza que actúa sobre $x \in V$. Y las fuerzas que actúan a través de la superficie $\partial V$, el límite de $V$, debido a la parte restante del cuerpo continuo que rodea $V$. Esas fuerzas tienen la forma $$\int_{\partial V} \vec{s}(x, \vec{n}(x)) dS(x)\:,$$ dónde $x \in \partial V$y $\vec{n}(x)$es el vector unitario exterior normal a $\partial V$en $x$. el vector $\vec{s}(x,\vec{n})$es el estrés en $x$en la dirección $\vec{n}$. por un fijo $\vec{n}$, no es sino una densidad superficial de fuerza en $x$. En realidad, desde $V$es cualquier parte del cuerpo continuo $C$, $x\in C$es un punto genérico y $\vec{n} \in \mathbb S^2$una dirección genérica.

El mencionado teorema de Cauchy establece que, bajo hipótesis físicas y matemáticas adecuadas (muy suaves) sobre$C$, existe un campo tensorial simétrico (cartesiano)$C \ni x \mapsto \sigma_{ij}(x)$tal que, por cada$x\in C$y$\vec{n} \in \mathbb S^2$,

$$s_i(x, \vec{n}) = \sum_{j=1}^3\sigma_{ij}(x) n_j\:.\tag{1}$$ $\sigma$se llama el tensor de tensión (campo) del cuerpo continuo.

Dichas hipótesis físicas son simplemente que sólo los dos tipos de fuerzas actúan sobre cada porción del cuerpo continuo y que las leyes usuales de la mecánica de Newton se cumplen para cada porción del cuerpo. En cambio, las hipótesis matemáticas se refieren simplemente a la regularidad de las funciones involucradas.

Es importante recalcar que el resultado es válido para todo tipo de cuerpo continuo, no necesariamente elástico, plástico o fluido. En el primer par de casos, sin embargo,$\sigma$es una función de la deformación del cuerpo.

ANEXO . La demostración del teorema de Cauchy es bastante sencilla. Se escribe "F=ma" para una secuencia de porciones$V_n \subset C$de cuerpo continuo tendiendo, por$n\to +\infty$, a un punto común fijo$x\in \cap_n\partial V_n$conservando la dirección$\vec{n}$en$x$. En el límite considerado, la fuerza de masa como en (0) así como la aceleración desaparecen más rápidamente que las fuerzas superficiales. Por lo tanto, las fuerzas superficiales deben tener una resultante que se desvanece. Como se ve, este último hecho equivale matemáticamente a decir que la función

$$\vec{n} \mapsto \vec{s}(x,\vec{n}) \tag{2}$$ extendido por linealidad a vectores genéricos $\vec{n}$(así también con $|\vec{n}|\neq 1$) es lineal .

Un teorema bien conocido demuestra que cualquier aplicación lineal se describe mediante un tensor . Por lo tanto hay un tensor$\sigma(x)$describiendo (2) como en (1). simetría de$\sigma$puede posteriormente (fácilmente) demostrarse a partir de la tercera ley de la dinámica newtoniana.

Tome un material plano y rectangular. Al permanecer en 2D, puede aplicar fuerzas en los bordes de diferentes maneras. Puedes ejercer:

• una fuerza de "apretón" a lo largo de los bordes verticales, esa será la$xx$componente del tensor,

• una fuerza de "apretón" a lo largo de los bordes horizontales, esa será la$yy$componente del tensor,

• una fuerza cortante a lo largo de los bordes verticales, que será el$xy$componente del tensor,

• una fuerza cortante a lo largo de los bordes verticales, que será el$yx$componente del tensor.

En 3D, pares de direcciones en${x,y,z}$dar nueve componentes. Por lo tanto, puede ver por qué necesita$d^2$componentes para describir la tensión en cualquier punto.

El estrés tiene que ser un tensor porque describe el flujo de cantidad de movimiento.

Piensa en el análogo de la corriente.$j_i$y masa dada por una densidad$\rho$. El componente$j_i$da la componente de la corriente de masa en el$i$ª dirección. Para completar la analogía, mencionaremos la ecuación de continuidad$\frac{d\rho}{dt} = - \partial_i j_i$.

Ahora pensemos en el impulso. Al igual que la masa, se conserva pero puede moverse de un lugar a otro. Allí podemos definir una densidad de cantidad de movimiento que simplemente llamaré$p_i$y una corriente de impulso. Ahora bien, esta corriente de cantidad de movimiento tendrá dos índices: el primero especificando qué componente de la cantidad de movimiento (porque cada componente se conserva individualmente) y el otro especificando qué componente de la corriente. Entonces, el segundo índice es análogo al índice único de la corriente que teníamos en el caso de la masa. La corriente de impulso se denota$\sigma_{ij}$. Para continuar con la analogía, esperaríamos una ecuación de continuidad$\frac{dp_i}{dt} = -\partial_j \sigma_{ij}$. De hecho, debido a una convención de signos, la ecuación de continuidad es$\frac{dp_i}{dt} = \partial_j \sigma_{ij}$, pero es exactamente la misma idea.