¿Qué ancho debe tener una pared de hielo para permanecer en su lugar?

Cualquier sección transversal de su pared soporta el peso de toda la pared que está sobre ella. En una primera aproximación, toda sección transversal estará en estado de compresión axial pura. La sección transversal más solicitada será la del fondo, que soportará una presión de compresión de$\rho h g$, dónde$\rho$es la densidad del hielo,$h$la altura del muro y$g$la aceleración de la gravedad. Puede comparar ese valor con la resistencia a la compresión del hielo y usarlo para determinar si su pared se derrumbará o no.

Su mayor problema sería averiguar qué parámetros usar, que aparentemente dependen mucho de cómo se formó el hielo, a qué temperatura se encuentra... Con solo echar un vistazo al diagrama de fase del hielo , queda claro que su va a tener un comportamiento complejo. Podría resultar que la fuerza de compresión provoque una transición de fase del hielo en la parte inferior de la pared, por lo que tendrá que considerar las secciones superior e inferior por separado. He encontrado un par de referencias muy antiguas, aquí y aquí , que solo he hojeado en diagonal. Pero que sea posible escribir cerca de 100 páginas sobre las propiedades mecánicas del hielo cuenta la historia...

Como nota al margen, si está dispuesto a sacrificar paredes perfectamente verticales, tener una pared con un ancho que crece como$A e^{by}$, dónde$y$es la distancia vertical desde la parte superior de la pared, cada sección transversal tendrá exactamente la misma presión de compresión. Esto significa que estás utilizando todo nuestro hielo a su máxima capacidad de carga, además de evitar diferentes presiones creando secciones con diferentes fases.

Tendríamos que saber más sobre el hielo con el que queremos construir el muro.

Por ejemplo, para el hielo en las capas de hielo , tiene un hielo que efectivamente alcanza una región plástica de la curva de esfuerzo-deformación alrededor de$0,5 MPa$. No soy geólogo, pero creo que los glaciares solo pueden ser más gruesos que$\sim 50 m$gracias a su forma específica y al hecho de que el entorno presiona el glaciar hacia atrás y no deja que se derrumbe (en su mayoría). Este no sería el caso de una pared estrecha, donde ya en$50 m$el hielo de una capa de hielo natural se desmoronaría antes de alcanzar la plasticidad (tengo la sensación de que la plasticidad no será causada únicamente por la ruptura de la estructura microscópica, sino también por los granos de hielo mesoscópicos que se rompen entre sí y se mueven).

Este estudio del servicio geológico de EE. UU . evalúa pragmáticamente "la resistencia al aplastamiento" del hielo y encuentra que el mejor hielo que se encuentra en la naturaleza a una temperatura ideal tiene un límite de aplastamiento inferior a aproximadamente$\sim 400 \, pounds/inches^2 = 2,8 MPa$.

Como ya dijo Jaime , el problema principal es que la parte más baja del hielo soporta la presión de toda la columna por encima. Esta presión es

$$P=\rho h g \approx 1000 kg \cdot m^{-3} \cdot 200 m \cdot 10 m\cdot s{-2} = 2 MPa \, .$$ Entonces, si no toma cualquier hielo, sino que optimiza sus propiedades, debería poder construir una pared de cualquier grosor hasta la altura de $200m$.

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Pero nuestra intuición, con razón, no se satisface con la visión de la poderosa pared de hielo con el grosor de una hoja de papel. Obviamente, una pared de este tipo se volcaría con el más mínimo soplo de aire, sin mencionar a un gigante montado en un mamut del lejano norte de Más allá de la pared. (Supongo que no es casualidad que la altura sea la misma que la del Muro de Game of Thrones :)

Es obvio que una pared más gruesa la hace menos propensa a que se le haga un agujero, pero concentrémonos en el tema de la estabilidad . En primer lugar, el mero hecho de que una pared más gruesa sea más pesada hace que sea más difícil volcarse hasta un ángulo crítico en el que la pared cae por sí sola. En segundo lugar, la base más grande hace que el ángulo de inclinación sea mucho mayor y que el par inicial para comenzar a inclinarla sea mucho mayor. Si dibuja un esquema de la pared con un espesor$d$y una altura$l$, es fácil demostrar que para el ángulo de inclinación$\alpha_t$tenemos

$$tan(\alpha_t) = \frac{d/2}{h/2} \to \alpha_t = arctan \left( \frac{d}{h} \right) \,.$$ O, el ángulo de inclinación $\alpha_t$siempre crece con la proporción $d/h$. Además, el par inicial necesario incluso para comenzar a inclinar la pared también crece con el grosor de la pared. El par inicial $\tau$tendría que ser $$\tau = F_{proj} l \,,$$ dónde $l = \sqrt{(d/2)^2 + (h/2)^2}$es la distancia al borde inferior del muro desde el centro de masa y el $F_{proj} = M g d/l$es la parte del peso de la pared con masa $M$perpendicular a la longitud $l$. El par requerido para incluso comenzar a volcar la pared es entonces $$\tau = Mgd \,.$$ Entonces, el par requerido para inclinar la pared es simplemente proporcional tanto a la masa de la pared como al grosor. Considerando el hecho de que la masa también es una función de $d$, tenemos un crecimiento aún más pronunciado de la estabilidad de nuestro muro con su espesor.

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¡Pero cuidado! El borde sobre el que se inclinaría la pared alcanza una presión prácticamente infinita en el proceso de vuelco. Esto es consecuencia del hecho de que la parte más baja del borde sobre el que estamos volcando la pared está soportando el peso de toda la pared. Por lo tanto, debemos construir el muro para que el requerido$\tau$incluso para comenzar a volcar, nunca es alcanzado por un intruso. Ni siquiera tiene que usar tanto hielo: la base basculante se hace efectivamente más grande, por ejemplo, curvando ligeramente la pared.

Incluso si aseguramos una base lo suficientemente grande, debemos estar seguros de que el intruso en realidad no ejerce suficiente presión para comenzar a desmoronar los bordes inferiores de la pared. Por ejemplo, una ráfaga muy brutal como la detectada en Australia podría ejercer una presión dinámica de aproximadamente$0.9 MPa$. Este golpe seguramente sería fatal, pero incluso los más débiles podrían derrumbar el muro debido a la falta de homogeneidad y la distribución desigual de la presión.

En general, el$700 ft \sim 200 m$Muro alto de Game of Thrones es un poco poco realista. Es difícilmente imaginable que la tecnología y la coordinación de esa época pudieran crear un hielo tan consistentemente ideal como el que estábamos considerando hasta ahora. En todo caso, mi mejor suposición sería una estimación de una presión máxima general$\sim 2 MPa$llevando a decir un$100 m$alto muro estable. Teniendo en cuenta que incluso las estructuras de piedra en la época medieval, como las catedrales, nunca fueron más altas que alrededor$160 m$, incluso el$100 m$pared de hielo sería formidable. Obviamente, la Física está perdiendo el aliento aquí, el razonamiento requiere que la Magia tenga que estar involucrada.

Como muestra la famosa torre Eiffel, una "buena" estructura autoportante no tiene una sección uniforme; en cambio, en cada nivel, el tamaño de la superficie de apoyo es lo suficientemente grande como para soportar el peso de la estructura sobre ella sin llegar a fracturarse. límite elástico del material de construcción.

El punto de fusión del hielo es una función de la presión, por lo que lo primero que debe hacer es asegurarse de que la temperatura no esté solo "por debajo del punto de congelación del agua", sino por debajo del punto de congelación del agua a cualquier presión que podamos encontrar. El diagrama de fase del agua (de http://www.homepages.ucl.ac.uk/~ucfbanf/images/ice2.jpg ):

Aún así, una columna de hielo de 200 m de altura produce una presión de aproximadamente 20 atmósferas, o 0,002 GPa, por lo que esto no es realmente una preocupación.

Realmente necesitas saber la densidad del hielo: es aproximadamente 0,92 la del agua. También necesita saber la aceleración gravitatoria: esto cambia un poco con la posición en la tierra, pero suponiendo que esté en la tierra,$9.8 kg/m^2$es una muy buena aproximación. Eso pone la presión real en el fondo de una pared de hielo de 200 m en$9.8 * 0.92 * 10^3 * 200 = 1.8 MPa$

A continuación, le preocupa la fuerza de trituración del hielo, que, según http://pubs.usgs.gov/wri/wri024158/wri024158_files/w024158p33_48.pdf , varía de 58 a 1046 psi. Tomando 1000 psi como un buen número redondo, eso corresponde a una presión de casi 7 MPa y una columna de agua de 700 metros. Con una densidad del hielo de aproximadamente 0,92 de la del agua, serías capaz de sostener una pared de 760 m de altura.

Pero eso no es divertido. Si hace que el hielo "no sea lo suficientemente fuerte", aún puede hacer una pared alta cambiando la forma de la pared: más gruesa en la parte inferior, más delgada en la parte superior. Como dije anteriormente, una forma exponencial es "ideal", pero podrías hacer el cálculo para un triángulo: hielo con densidad$\rho$en una sección triangular de base$b$y altura$h$tiene una masa de$1/2 h b$por unidad de longitud, y por lo tanto ejerce una presión de$1/2 h$independientemente del ancho de la base. Usted acaba de construir un muro que era el doble de alto para una fuerza de hielo dada, utilizando matemáticas bastante básicas, y tendría una posibilidad razonable de construir un muro con dimensiones precisas incluso con mano de obra relativamente no calificada (consulte las pirámides para ver otros ejemplos de este tipo). una forma...).

Hablando de pirámides, descubrieron otro problema mecánico al construir demasiado alto y demasiado empinado: las tensiones de cizallamiento en el material podrían causar un deslizamiento que colapsaría la pirámide. Construida inicialmente a 54 grados, los egipcios descubrieron, con el colapso fatal de la pirámide de Meidum, que también se construyó a 54 grados, que no era seguro construir una pirámide demasiado inclinada. Siempre prácticos, simplemente continuaron con un ángulo menos profundo de 43 grados. Atribución: el cargador original fue Ivrienen en en.wikipedia - Transferido de en.wikipedia; transferido a Commons por Usuario:Leoboudv usando CommonsHelper. Licenciado bajo CC BY 3.0 a través de Wikimedia Commons .

Por cierto, la fuerza del hielo es una función de la velocidad con la que se aplica el estrés:

Este es un gráfico terrible si desea construir paredes altas de hielo, porque dice que las tremendas fuerzas que le prometieron los científicos de materiales simplemente no se mantienen a bajas velocidades de deformación (en otras palabras, en el límite de "un muro eterno", las cosas fluirán lentamente hacia el suelo). Tenga en cuenta que esto se vuelve significativo a tasas por debajo de$10^{-6}$- el equivalente a la contracción del muro de 200 m de altura$200 \mu m / s$, o 17 metros por día. Ay...

El gráfico anterior proviene de un artículo interesante sobre la fuerza del hielo: http://www.tms.org/pubs/journals/JOM/9902/Schulson-9902.html que contiene mucha más información interesante. Probablemente el hecho más divertido es el hecho de que investigaron el uso de icebergs gigantes hechos por el hombre para funcionar como portaaviones durante la Segunda Guerra Mundial. Aunque nunca se construyó un barco de este tipo, se descubrió durante la investigación que agregar una pequeña cantidad (4%) de pulpa de abeto canadiense podría duplicar la fuerza del hielo y, lo que es más importante, aumentar enormemente la resistencia al impacto, importante para un portaaviones, y para el muro de hielo de una fortaleza, digamos. De hecho, peso por peso, le dio al hielo la resistencia a los golpes del concreto. Bonito: un compuesto de baja tecnología.

Entonces, si quieres construir tu muro:

• Constrúyalo con un ángulo: más ancho en la base, más angosto en la parte superior
• Agregue pulpa de abeto canadiense para que sea más fuerte
• Espere que fluirá lentamente por su propio peso: así que siga construyéndolo...

Suponiendo "que el hielo se comporta como un material plástico deformable, lo que significa que existe un esfuerzo cortante crítico, por debajo del cual no se producirá tensión (deformación o flujo)", Weertman derivó el perfil de equilibrio de un campo de hielo tal que el esfuerzo no exceda el crítico. valor. Encontró que la altura es aproximadamente

$$h = \sqrt{\lambda L}$$ dónde $\lambda$mide unos 10 metros y $L$es la mitad del ancho. Por lo tanto, un campo de hielo que no fluye de 200 metros de altura necesitaría tener 7 km de ancho. De acuerdo con el artículo de Wikipedia , más allá de la tensión crítica, la tasa de flujo aumenta como el cubo de la tensión, por lo que una pared mucho más estrecha se desplomaría rápidamente hacia un perfil de equilibrio.