¿Cuál es el significado físico de la tercera invariante de la deformación desviatoria?

En la mecánica continua de materiales con cambio volumétrico cero, la condición del material puede expresarse mediante el tensor de desviación de deformación en lugar del propio tensor de deformación. Para expresar la plasticidad de los materiales, la superficie de plasticidad se construye a partir de las invariantes de deformación segunda y tercera, es decir,

I 2 = − 1 2 tr ( ε d mi v 2 ) ,

I 3 = det ( ε d mi v ) .

Es obvio que la segunda invariante no es capaz de describir la asimetría tensión-compresión del material. Por lo tanto, el tercer invariante también se incluye en la superficie de plasticidad. Ahora la pregunta es por qué el tercer invariante puede expresar la asimetría tensión-compresión. Es decir, cómo el determinante de la deformación desviatoria determina el estado de tracción o compresión del material.

gracias de antemano

Respuestas (2)

Si mi ≡ ε d mi v describe un estado de tensión entonces − mi describe un estado de compresión. Ahora, I 2 ( mi ) = I 2 ( − mi ) es decir, como dices, que I 2 no puede distinguir la tracción de la compresión. Sin embargo, en 3D, det ( − mi ) = − det ( mi ) . De este modo, mi y − mi tienen terceras invariantes opuestas. Esta diferencia se puede aprovechar para construir funciones de rendimiento que distingan la tracción de la compresión.

no se si I 3 tiene un "significado físico" directo o no. Sin embargo, esta es la única opción disponible para materiales isotrópicos. Recuerde que para un material isotrópico, la función de rendimiento F debe ser una función isotrópica de mi ; eso es

F ( mi ) = F ( R mi R ′ )
para cualquier rotación R y su inversa R ′ . En ese caso, F se puede escribir como una función de los invariantes: F ( mi ) = F ( I 1 , I 2 , I 3 ) . Pero I 1 = 0 y I 2 es uniforme, lo que significa que la única forma de distinguir la tracción de la compresión en materiales isotrópicos es escribiendo un I 3 -criterio de rendimiento dependiente.

para un general 3 × 3 matriz $\mathbf{A, tienes:

I 3 = 1 3 ! [ tr ( A ) 3 − 3 tr ( A 2 ) tr ( A ) + 2 tr ( A 3 ) ]

Si usted tiene tr ( A ) = 0 (este es el caso de A = ε d mi v ), entonces obtienes:

I 3 = 1 3 tr ( A 3 )

Entonces, para el tensor de deformación desviadora, tienes:

I 3 ( ε d mi v ) =: j 3 = 1 3 tr ( ε d mi v 3 ) = det ( ε d mi v )

Por lo tanto, necesita este invariante adicional para distinguir el esfuerzo de tracción del esfuerzo de compresión, porque I 2 ( ε d mi v ) no cambia de signo bajo la transformación ε i j ↦ − ε i j , porque:

I 2 ( ε d mi v ) =: j 2 = 1 2 tr ( ε d mi v 2 )

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