Ley de Hooke y tasas de estrés objetivas

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Ley de Hooke y tasas de estrés objetivas

Física
tensión-deformación
mecanica de solidos
cálculo tensorial
mecánica de Medios Continuos
formalismo lagrangiano

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A menudo, en artículos que presentan métodos de simulación Lagrangianos actualizados para dinámica de sólidos, se presenta el siguiente procedimiento para actualizar el tensor de tensión (Cauchy):

En primer lugar, el tensor de tensiones de Cauchy se divide en una parte hidrostática y otra desviadora:

σ^{i j} = - pag d^{i j} + S^{i j}

$\sigma^{ij} = -p\delta^{ij} + S^{ij}$

La presión se encuentra usando una ecuación de estado. A menudo se utiliza el siguiente enfoque isotérmico:

pag = C_{0}^{2} (ρ - ρ_{0})

$p = c_0^2(\rho - \rho_0)$

$c_0^2$ siendo la velocidad adiabática del sonido, $\rho$ la densidad y $\rho_0$ la densidad de referencia. Entonces, se afirma que se asume la ley de Hooke y la parte desviadora del tensor de tensiones evoluciona de la siguiente manera:

\frac{d S^{i j}}{d t} = 2 m ({\dot{ϵ}}^{i j} - \frac{1}{3} d^{i j} {\dot{ϵ}}^{k k}) + S^{i j} Ω^{j k} + Ω^{i k} S^{k j}

$\frac{dS^{ij}}{dt} = 2\mu(\dot{\epsilon}^{ij} - \frac{1}{3}\delta^{ij}\dot{\epsilon}^{kk}) + S^{ij}\Omega^{jk} + \Omega^{ik}S^{kj}$

dónde $\mu$ es el módulo de cortante,

Ω^{i j} = \frac{1}{2} (\frac{d v^{i}}{d X^{j}} - \frac{d v^{j}}{d X^{i}})

$\Omega^{ij} = \frac{1}{2} (\frac{\delta v^i}{\delta x^j} - \frac{\delta v^j}{\delta x^i})$ es el tensor de espín y

{\dot{ϵ}}^{i j} = \frac{1}{2} (\frac{d v^{i}}{d X^{j}} + \frac{d v^{j}}{d X^{i}})

$\dot{\epsilon}^{ij} = \frac{1}{2} (\frac{\delta v^i}{\delta x^j} + \frac{\delta v^j}{\delta x^i})$ es el tensor de tasa de deformación. Ahora, desde:

\dot{σ} = \overset{Δ j}{σ} + σ \cdot Ω + Ω \cdot σ

$\dot{\sigma} = \overset{\Delta J}{\sigma} + \sigma\cdot\Omega + \Omega\cdot\sigma$

dónde $\overset{\Delta J}{\sigma}$ es la tasa de Jaumann que sostiene que:

{\overset{Δ j}{σ}}_{i j} = 2 m ({\dot{ϵ}}^{i j} - \frac{1}{3} d^{i j} {\dot{ϵ}}^{k k})

$\overset{\Delta J}{\sigma}_{ij} = 2\mu(\dot{\epsilon}^{ij} - \frac{1}{3}\delta^{ij}\dot{\epsilon}^{kk})$

Ahora vamos a mis preguntas:

¿Cómo se llega a la ecuación anterior para la tasa de Jaumman? O, en particular, ¿cómo la suposición de la ley de Hooke produce esa ecuación para la tasa de Jaumann?
¿Esa ecuación para la tasa de Jaumann también es válida para otras tasas de estrés objetivas? Por ejemplo, para la tasa de Truesdell , dando una actualización de estrés de la siguiente manera:

\frac{d S}{d t} = 2 m (\dot{ϵ} - \frac{1}{3} 1 T r (\dot{ϵ})) - T r (\dot{ϵ}) S + \dot{ϵ} \cdot S + S {\dot{ϵ}}^{T}

$\frac{dS}{dt} = 2\mu(\dot{\epsilon} - \frac{1}{3}\mathbf{1}{\rm Tr}(\dot{\epsilon})) - {\rm Tr}(\dot{\epsilon})S + \dot{\epsilon}\cdot S + S\dot{\epsilon}^T$

( $\rm Tr(.)$ siendo la huella)

Respuestas (1)

Ley de Hooke y tasas de estrés objetivas

usuario_de_las_matemáticas · Answer 1

Probablemente sepa que, si bien las tensiones de Cauchy son objetivas, su tasa de tensión (derivada material) no lo es. Si $Q(t)$ es un tensor ortogonal que representa un cambio de marco, la tensión es el nuevo marco es

T^{*} = q T q^{T}

$T^* = Q T Q^T$

Sin embargo, si toma derivados materiales en ambos lados, tiene,

\dot{T^{*}} = \dot{q} T q^{T} + q \dot{T} q^{T} + q T {\dot{q}}^{T} (1)

$\dot{T^*} = \dot{Q} T Q^T + Q \dot{T} Q^T + Q T \dot{Q}^T \quad \quad (1)$

Los términos 1 y 3 anteriores son "extra" -> implican que tomar ingenuamente el material derivado del estrés $T$ no le dará una tasa objetiva.

Surge un problema similar porque la parte de "giro" del tensor de gradiente de velocidad $L$ , (lo llamaré $W$ en vez de $\Omega$ ) no es objetivo. es decir, $L = W + D$ , pero mientras $D$ es objetivo, $W$ no es. A partir de los primeros principios, no es difícil demostrar que (agregaré este bit si lo desea)

W^{*} = q W q^{T} + \dot{q} q^{T} (2)

$W^* = Q W Q^T + \dot{Q} Q^T \quad \quad (2)$

También porque $Q$ es ortogonal ( $Q^T=Q^{-1}$ ) tienes el lema

\dot{q} q^{T} = - q {\dot{q}}^{T}

$\dot{Q} Q^T = -Q \dot{Q}^T$

De hecho, podemos usar este segundo problema para construir una solución al primero. eliminaremos $\dot{Q}, \dot{Q}^T$ de (1) a su vez. Multiplique a la derecha (2) por Q y reorganice; tienes

\dot{q} = W^{*} q - q W

$\dot{Q} = W^* Q - Q W$ Transponga ambos lados y tendrá una expresión para

{\dot{Q}}^{T}

$\dot{Q}^T$ .

{\dot{q}}^{T} = - q^{T} W^{*} + W q^{T}

$\dot{Q}^T = -Q^T W^* + W Q^T$ El último resultado utiliza el hecho de que el tensor de espín

W

$W$ es sesgadamente simétrica.

Sustituyamos estas expresiones por $\dot{Q},\dot{Q}^T$ de vuelta en (1).

\dot{T^{*}} = (W^{*} q - q W) T q^{T} + q \dot{T} q^{T} + q T (- q^{T} W^{*} + W q^{T}) = W^{*} q T q^{T} - q W T q^{T} + q \dot{T} q^{T} - q T q^{T} W^{*} + q T W q^{T}) = W^{*} T^{*} - q W T q^{T} + q \dot{T} q^{T} - T^{*} W^{*} + q T W q^{T} \Rightarrow (al reorganizar) \dot{T^{*}} + T^{*} W^{*} - W^{*} T^{*} = q (\dot{T} + T W - W T) q^{T}

$\dot{T^*} = (W^* Q - Q W) T Q^T + Q \dot{T} Q^T + Q T (-Q^T W^* + W Q^T) \\ \quad = W^* Q T Q^T - Q W T Q^T + Q \dot{T} Q^T - Q T Q^T W^* + Q T W Q^T) \\ \quad = W^* T^* - Q W T Q^T + Q \dot{T} Q^T - T^* W^* + Q T W Q^T \\ \Rightarrow \quad \text {(on rearranging)} \\ \quad \dot{T^*} + T^* W^* - W^* T^* = Q (\dot{T} + T W - W T) Q^T \\$

Observe que el lado derecho tiene la forma $Q R Q^T$ , y el lado izquierdo es precisamente la cantidad entre paréntesis en el marco de referencia con estrella. En otras palabras, hemos construido una tasa $J = \dot{T} + T W - W T$ tal que $\dot{J^*} = Q J Q^T$ , que es objetivo por definición. Ahora puede especializar fácilmente sus ecuaciones en elasticidad.

Lo importante a recordar es que la tasa de Jaumann es simplemente una de un número infinito de tasas de estrés objetivas. En general, las derivadas de Lie de campos tensoriales objetivos son objetivas.

Tenga en cuenta @Matthias: su expresión que relaciona la tasa de Jaumann y $\dot{\sigma}$ tiene un problema de señal.
Gracias por tu extensa respuesta. Su derivación de la tasa de Jaumann es clara y fácil de seguir. Sin embargo, todavía lucho por especializar "fácilmente" las ecuaciones a la elasticidad. ¿Podría comentar mis preguntas 1 y 2 en concreto? Sería muy apreciado. (No puedo votar por falta de reputación)
@Matthias: puede ver la siguiente página (desplácese hacia abajo hasta 3.9.3): solidmechanics.org/text/Chapter3_9/Chapter3_9.htm Tenga en cuenta que hay una aproximación involucrada (es decir, que las tensiones son mucho más pequeñas que los módulos elásticos)
Además, siempre tenga cuidado de usar cantidades conjugadas de trabajo en sus relaciones tensión-deformación.

Ley de Hooke y tasas de estrés objetivas

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