En mecánica continua, ¿por qué el vector de tensión T=σ⋅nT=σ⋅nT=\sigma\cdot n no es un covector?

Cuando las personas estudian mecánica continua, generalmente lo hacen al principio en$\mathbb{R}^3$donde por lo general hemos implicado el tensor métrico habitual$(g_{ij}) = \operatorname{diag}(1,1,1)$y la conexión Levi-Civita asociada con ella. En ese caso, vectores y covectores son equivalentes: el tensor métrico induce el isomorfismo musical y permite convertir entre campos vectoriales y formas únicas mediante índices ascendentes y descendentes.

Así que si$M$es tu espacio y$(x,U)$un sistema de coordenadas, si$X$es un campo vectorial, que en$U$se puede escribir en coordenadas como

entonces$g$le permite construir el equivalente de una forma configurando$\omega = g(X,\cdot)$, es decir, en$U$podemos escribir

dónde$g_{ij}$son los componentes de$g$en el sistema de coordenadas$(x,U)$, es decir, funciones que nos permiten escribir$g = g_{ij}dx^i\otimes dx^j$.

Ahora, el tensor de estrés del que hablas generalmente se define como un mapa lineal que convierte los vectores en vectores: es capaz de tomar una normal y devolver una fuerza. Ahora mapas lineales en un espacio vectorial$V$puede identificarse con el producto tensorial$V\otimes V^{\ast}$y así mapas lineales y tensores de tipo$(1,1)$son lo mismo.

En ese escenario, es mejor pensar en el tensor de estrés como este$(1,1)$tensor$\sigma$en que$(x,U)$puede ser escrito

Ahora, de la misma manera, dicho tensor puede mapear vectores a vectores, puede mapear covectores a covectores. De esa manera, si consideras la fuerza como un covector,$\sigma$puede mapearlo. Ahora, debido a que tiene un tensor métrico, todas esas operaciones se pueden "hacer coincidir" usando el isomorfismo musical. Más importante aún, cuando$g$es el tensor métrico habitual de$\mathbb{R}^3$no ves ninguna diferencia en absoluto.