Grado de anisotropía de los tensores de cristal

Voy a seguir un papel Phys. Rev. Lett. 101, 055504 que parece responder a esta pregunta de manera muy concisa. Notación habitual de Voight:$C_{ijkl} \to C_{mn}$aquí, definimos los estimadores de Voight y Reuss como se definen en Proc. física Soc. A 65 349 . Por ejemplo :

$$K^V= \frac{1}{9}\left(C_{11} + C_{22} + C_{33} + 2 (C_{12} + C_{23} + C_{31})\right)$$ y así sucesivamente para $K^R, G^V, \mathrm{and} \,G^R$. Los definiré con más detalle en esta respuesta más adelante, si es necesario. Los autores de la PRL van luego a definir $$A^U = 5 \frac{G^R}{G^V} + \frac{K^R}{K^V} - 6 \geq 0$$ como el índice anisotrópico elástico universal. Sus afirmaciones, que $A^U = 0$para cristales isotrópicos donde $C_{11} = C_{22} = C_{33}$, $C_{44} = C_{55} = C_{66} = \frac{C_{11} - C_{12}}{2}$, y $C_{12} = C_{13} = C_{23}$son exactas, así como las afirmaciones sobre las clases cúbicas. Esta cantidad cubre una amplia gama de clases de cristal (todas) y no tiene los problemas conflictivos que tiene el índice anisotrópico de Zener, según tengo entendido.

Creo que la idea de definir una parte esférica y una parte anisotrópica es el enfoque correcto. Aquí está mi intento.

El parámetro de anisotropía fraccional para el proceso de difusión se puede reescribir como

$$\text{FA}^2 = \frac{3}{2} \frac{ \mathbf{\tilde{D}}^2}{\textbf{D}^2},$$ dónde $\mathbf{D}$es el tensor de difusión y $\tilde{\mathbf{D}} = \mathbf{D} - \frac{1}{3} \mathbf{I} \, \text{tr} (\mathbf{D})$es la versión sin rastro de la misma. De esta forma, no es demasiado difícil ver lo que estamos haciendo: estamos tomando el tensor, restando su parte esféricamente simétrica, elevando al cuadrado el resto y luego normalizándolo en relación con el cuadrado del tensor original. En particular, si el tensor ya es esféricamente simétrico, entonces $\text{FA} = 0$automáticamente.

Para ello, definamos

$$\tilde{C}_{ijkl} = C_{ijkl} - K \delta_{ij} \delta_{kl} - \mu \left( 2 \delta_{k(i} \delta_{j)l} - \frac{2}{3} \delta_{ij} \delta_{kl} \right)$$ donde hemos definido $K$y $\mu$ser $$K = \frac{1}{9} \delta^{ij} \delta^{kl} C_{ijkl}$$ y $$\mu = \frac{1}{20} \left( 2 \delta^{k(i} \delta^{j)l} - \frac{2}{3} \delta^{ij} \delta^{kl} \right) C_{ijkl}.$$ Por construcción tenemos $$\delta^{ij} \delta^{kl} \tilde{C}_{ijkl} = \left( 2 \delta^{k(i} \delta^{j)l} - \frac{2}{3} \delta^{ij} \delta^{kl} \right) \tilde{C}_{ijkl} = 0.$$ Para ver esto, contrae cada uno de estos tensores con el lado derecho de la definición de $\tilde{C}_{ijkl}$arriba, y tenga en cuenta que $$\left(2 \delta^{k(i} \delta^{j)l} - \frac{2}{3} \delta^{ij} \delta^{kl} \right) \delta_{ij} \delta_{kl} = 0.$$

Efectivamente, este proceso proyecta el tensor$C_{ijkl}$en el espacio de tensores esféricamente simétricos con la estructura de índice apropiada (ahora un espacio vectorial bidimensional en lugar de un espacio vectorial unidimensional como en el caso del tensor de difusión). En particular, si$C_{ijkl}$ya corresponde a la forma de un tensor de rigidez para un medio isótropo (para algunos$K$y$\mu$), entonces obtendremos$\tilde{C}_{ijkl} = 0$. Un análogo del parámetro de isotropía fraccional sería entonces

$$\text{FA}^2 = \alpha \frac{\tilde{C}_{ijkl}\tilde{C}^{ijkl}}{C_{ijkl} C^{ijkl}},$$ dónde $\alpha$es un parámetro de normalización que lamentablemente no tengo tiempo para calcular en este momento. Volveré a esta respuesta más adelante cuando tenga tiempo para descubrir cómo calcularla.

Editar: $\alpha = 5/4$, Creo. Si enchufamos un$C_{ijkl}$con$C_{1111} = 1$y el resto de componentes cero, obtenemos$\text{FA}^2 = \frac{4}{5}\alpha$. requiriendo$\text{FA} = 1$en este caso entonces implica que$\alpha = 5/4$.

Tenga en cuenta que estamos limitados por el hecho de que el tensor de rigidez no puede ser un tensor arbitrario, sino que debe ser "positivo semidefinido" en el sentido de que la densidad de energía del gradiente$C_{ijkl} \partial_i u_j \partial_k u_l$siempre debe ser no negativo. (De lo contrario, el estado con$\partial_i u_j = 0$en todas partes no sería un estado de equilibrio estable para el sistema.) Esta restricción es lo que nos impide elegir un tensor con$K = \mu = 0$y$\tilde{C}_{ijkl} = C_{ijkl}$.