Tasa de tensión desviadora de Jaumann

Question

Tasa de tensión desviadora de Jaumann

Física
tensión-deformación
mecanica de solidos
cálculo tensorial
mecánica de Medios Continuos

1Pregunta rápida

Antecedentes sobre los términos en esta pregunta: ley de Hooke y tasas de estrés objetivas

Según tengo entendido, la tasa de tensión desviadora de Jaumann se escribe como:

d S / d t = \overset{△}{S} = \dot{S} + S \cdot w - w \cdot S

$dS/dt = \overset{\bigtriangleup}{{S}} = {\dot{S}} +{S} \cdot {w} -{w} \cdot {S}$

Sin embargo, cuando lo veo en la práctica, está escrito como:

d S^{i j} / d t = 2 m ({\dot{ϵ}}^{i j} - \frac{1}{3} d^{i j} {\dot{ϵ}}^{i j}) + S^{i k} Ω^{j k} + Ω^{i k} S^{k j}

$\mathrm{d}{{S}}^{ij}/ \mathrm{d}t = 2\mu\left({\dot{{\epsilon}}}^{ij} - \frac{1}{3}{\delta}^{ij}{\dot{{\epsilon}}}^{ij} \right)+{{S}}^{ik}{{\Omega}}^{jk}+{{\Omega}}^{ik}{{S}}^{kj}$

A mi eso dice:

d S / d t = \overset{△}{S} = \dot{S} + S \cdot w^{'} + w \cdot S

$dS/dt = \overset{\bigtriangleup}{{S}} = {\dot{S}} +{S} \cdot {w'} +{w} \cdot {S}$

Mi pregunta es: ¿de dónde provienen la transposición del tensor de espín y el signo más?

Pensé que esto podría tener algo que ver con Oldroyd y las tasas de estrés convectivo, pero eso usa el tensor de gradientes de velocidad en lugar del tensor de giro.

Editar: aclarar de dónde proviene el término de velocidad de deformación desviadora.

Para un sólido elástico isótropo, el tensor de tensión viene dado por:

σ^{i j} = 2 m ϵ^{i j} + λ d^{i j} (ϵ^{k k})

${\sigma}^{ij} = 2\mu{\epsilon}^{ij} + \lambda \delta^{ij}({\epsilon}^{kk})$

Entonces el esfuerzo desviador se puede escribir como:

S^{i j} = 2 m ϵ^{' i j} + λ d^{i j} ({ϵ^{'}}^{k k})

${S}^{ij} = 2\mu{\epsilon}'^{ij} + \lambda \delta^{ij}({\epsilon'}^{kk})$

Dado que la deformación desviatoria no tiene trazas, la tasa de tensión desviatoria se puede escribir como:

{\dot{S}}^{i j} = 2 m {\dot{ϵ^{'}}}^{i j}

${\dot{S}}^{ij} = 2\mu\dot{{\epsilon'}}^{ij}$

La tasa de deformación desviatoria se puede reescribir en términos de la tasa de deformación dando:

{\dot{S}}^{i j} = 2 m [{\dot{ϵ}}^{i j} - \frac{1}{3} d^{i j} {\dot{ϵ}}^{i j}]

${\dot{S}}^{ij} = 2\mu\left[{\dot{\epsilon}}^{ij} - \frac{1}{3}\delta^{ij}{\dot{\epsilon}}^{ij}\right]$

tyler olsen

¿Puede vincular a la referencia donde vio los índices escritos? Además, ¿adónde se fue la parte isotrópica de tu estrés? Tienes la derivada temporal de la tensión desviadora allí, pero nada sobre

{\dot{ϵ}}_{k k}

$\dot{\epsilon}_{kk}$

1Pregunta rápida

Referencia a donde se escriben los índices. Puedo proporcionar otros si es necesario. Se agregó una sección a la pregunta que explica los orígenes de la tasa de estrés desviador.

tyler olsen

Pido disculpas por la demora. Plazos de tesis llamar... Independientemente, la respuesta está abajo.

Respuestas (2)

Tasa de tensión desviadora de Jaumann

¿Puede vincular a la referencia donde vio los índices escritos? Además, ¿adónde se fue la parte isotrópica de tu estrés? Tienes la derivada temporal de la tensión desviadora allí, pero nada sobre $\dot{\epsilon}_{kk}$
Referencia a donde se escriben los índices. Puedo proporcionar otros si es necesario. Se agregó una sección a la pregunta que explica los orígenes de la tasa de estrés desviador.
Pido disculpas por la demora. Plazos de tesis llamar... Independientemente, la respuesta está abajo.

kamipeer · Answer 1

Parece que confundiste la derivada de Jaumann $\overset{o}{{S}}$ (en su notación $\overset{\bigtriangleup}{{S}}$ ) con la derivada temporal ${\dot{S}}$

\frac{d S}{d t} = \dot{S} = \overset{o}{S} - S \cdot w + w \cdot S

$\frac{dS}{dt} = {\dot{S}} = \overset{o}{{S}} -{S} \cdot {w} +{w} \cdot {S}$

Vea cómo se deriva en " http://www.continuummechanics.org/cm/corotationalderivative.html ". Usando el argumento de que $w^T = -w$ obtenemos

\frac{d S}{d t} = \dot{S} = \overset{o}{S} + S \cdot w^{T} + w \cdot S

$\frac{dS}{dt} = {\dot{S}} = \overset{o}{{S}} +{S} \cdot {w^T} +{w} \cdot {S}$

Además, cuando "aclaró" de dónde proviene la tensión desviadora, no me quedan muy claros todos los pasos que siguió. Porque en realidad no es la derivada del tiempo la que equivale al término $\left({\dot{{\epsilon}}}^{ij} - \frac{1}{3}{\delta}^{ij}{\dot{{\epsilon}}}^{ij} \right)$ sino la derivada de Jaumann. Para esto, puede echar un vistazo a la ley de Hooke y las tasas de estrés objetivas.

Más concretamente, la derivación de la fórmula para el estrés de Jaumann

\overset{o}{S^{i j}} = 2 m [{\overset{o}{ϵ}}^{i j} - \frac{1}{3} d^{i j} {\overset{o}{ϵ}}^{i j}]

$\overset{o}{{S}^{ij}} = 2\mu\left[{\overset{o}{\epsilon}^{ij}} - \frac{1}{3}\delta^{ij}{\overset{o}{\epsilon}^{ij}}\right]$

se deriva en la wikipedia de la ley de Hooke y en "Una introducción a la mecánica continua, Klaus Hackl, Mehdi Goodarzi". Sin embargo, aquí muestro un resumen de la derivación del estrés de Jaumann.

La definición de tensión desviadora es simplemente

σ = (\begin{matrix} \frac{σ_{11}}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{σ_{22}}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{σ_{33}}{3} \end{matrix}) + (\begin{matrix} σ_{11} - \frac{σ_{11}}{3} & σ_{12} & σ_{13} \\ σ_{21} & σ_{22} - \frac{σ_{22}}{3} & σ_{23} \\ σ_{31} & σ_{32} & σ_{33} - \frac{σ_{33}}{3} \end{matrix})

$\sigma = \begin{pmatrix} \frac{\sigma_{11}}{3} & 0 & 0\\ 0 & \frac{\sigma_{22}}{3} & 0\\ 0 & 0 & \frac{\sigma_{33}}{3}\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \sigma_{11} - \frac{\sigma_{11}}{3} & \sigma_{12} & \sigma_{13}\\ \sigma_{21} & \sigma_{22} - \frac{\sigma_{22}}{3} & \sigma_{23}\\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}- \frac{\sigma_{33}}{3}\\ \end{pmatrix}$

el segundo término de la ecuación anterior. Si le aplicamos la ley de Hooke (que relaciona la tensión $\sigma$ y tensión $\varepsilon$ linealmente)

S = 2 m (ϵ - \frac{1}{3} t r (ε))

${{S}} = 2\mu\left({{\epsilon} - \frac{1}{3}\mathrm{tr}(\varepsilon)}\right)$

Con la notación de Einstein

S^{i j} = 2 m [ϵ^{i j} - \frac{1}{3} d^{i j} ϵ^{k}_{k}]

${{S}}^{ij} = 2\mu\left[{{\epsilon}}^{ij} - \frac{1}{3}\delta^{ij}\epsilon^k{}_k\right]$

dónde $\epsilon$ es el llamado tensor de deformación.

Finalmente, podemos calcular la derivada de Jaumann para obtener lo que queríamos.

Tienes razón en que inicialmente confundí la derivada de Jaumann con la derivada del tiempo. ¿Podría aclarar por qué?: $\overset{\circ}{S^{i j}} = 2 m [{\dot{ϵ}}^{i j} - \frac{1}{3} d^{i j} {\dot{ϵ}}^{i j}]$ $\overset{\circ}{{S^{ij}}} = 2\mu\left[{\dot{\epsilon}}^{ij} - \frac{1}{3}\delta^{ij}{\dot{\epsilon}}^{ij}\right]$ Esta es la única pieza que me falta. No sé por qué esta es la tasa de tensión desviadora de Jaumann objetiva (a diferencia de simplemente la derivada temporal de la tensión desviadora).

tyler olsen · Answer 2

TL; DR La expresión en el documento es correcta. Está escrito de forma extraña.

Mire dónde está el "=" en su ecuación de índice. Notarás que tu $\dot{\mathbf{S}}$ y sus términos de giro están en lados opuestos, por lo que debe esperar que se vea un poco tonto. Aquí está el álgebra (en notación directa ya que odio los índices):

Dejar $\mathbf{\epsilon}' = \mathbf{\epsilon} - \frac{1}{3}\mathrm{tr}(\epsilon) \mathbf{1}$

\dot{S} = 2 m {\dot{ϵ}}^{'} + {S W}^{T} + W S

$\dot{\mathbf{S}} = 2\mu\,\dot\epsilon' + \mathbf{SW}^T + \mathbf{WS}$

\dot{S} - {S W}^{T} - W S = 2 m {\dot{ϵ}}^{'}

$\dot{\mathbf{S}} - \mathbf{SW}^T - \mathbf{WS} = 2\mu\,\dot\epsilon'$

Recordar que $\mathbf{W} = -\mathbf{W}^T$ . Si no sabía esto, debería leer un libro de texto introductorio sobre mecánica continua. Debería aclarar por qué este es el caso.

Por lo tanto, la segunda línea se puede reescribir como

\dot{S} + S W - W S = 2 m {\dot{ϵ}}^{'}

$\dot{\mathbf{S}} + \mathbf{SW} - \mathbf{WS} = 2\mu\,\dot\epsilon'$

y recupera su tasa de estrés desviador de Jaumann.

Gracias por la respuesta, señale si estoy siendo lento pero no debería ser lo anterior: [ $\overset{\bigtriangleup}{{S}} = {\dot{S}} +{S} \cdot {w'} +{w} \cdot {S}$ ] [ $\overset{\bigtriangleup}{{S}} - {S} \cdot {w'} - {w} \cdot {S} = {\dot{S}}$ ] Como $W = -W^T$ : [ $\overset{\bigtriangleup}{{S}} + {S} \cdot {w} - {w} \cdot {S} = {\dot{S}}$ ] Que no es lo mismo que: [ ${\dot{S}} + {S} \cdot {w} - {w} \cdot {S} = \overset{\bigtriangleup}{{S}}$ ]
No. Si observa la ecuación de índice del papel, notará que dS/dt está solo en el lado izquierdo. Al mover los términos de espín hacia el lado izquierdo, obtienes tu tasa de Jaumann completa en el LHS. Es importante darse cuenta de que $dS/dt = \dot{S}$ .
En la mecánica de medios continuos, cuando escribe una ecuación constitutiva como una tasa, debe asegurarse de que la ley constitutiva se transforme adecuadamente bajo un cambio rígido en el marco. No entraré en detalles aquí, ya que está un poco más allá del poder de la sección de comentarios, pero esto da como resultado el requisito de escribir ecuaciones constitutivas como $objectiveRate = isotropicFunc(variables$ . Este requisito se llama "indiferencia del marco material", si desea buscarlo.
Gracias por los comentarios. Necesito investigar esto más ya que claramente me estoy perdiendo algo. Pensé que estábamos buscando la tasa objetiva de estrés ( $\overset{\bigtriangleup}{{S}}$ ) y encontramos que por una combinación de la tasa de estrés no objetivo ( ${\dot{S}} = 2\mu\dot{{\epsilon'}}$ ) y un producto del tensor de rotación y la tensión. Voy a votar cuando tenga el representante.
O perdón por la confusión. $\dot{S}$ es siempre $dS/dt$ . Es solo que las leyes constitutivas deben escribirse en términos de una tasa objetiva, por lo que es donde entran los términos adicionales. Estos términos no aparecen en la elasticidad de pequeña deformación, por lo que es posible que no los haya visto antes. Recomiendo encarecidamente "La mecánica y la termodinámica de Continua" si está buscando un buen libro de texto sobre el tema. Tiene un tratamiento muy completo de la teoría constitutiva, y tiene una cierta inclinación mecánica sólida desde que fue escrito por el profesor Anand en el MIT.

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