Normalizar la función de onda con respecto al tiempo en lugar del espacio

Question

Normalizar la función de onda con respecto al tiempo en lugar del espacio

Dwade64

La interpretación estadística de Born de la función de onda dice que $|\Psi (x,t)|^2$ es la densidad de probabilidad de encontrar la partícula en el punto $x$ en el momento $t$ , entonces

\begin{matrix} (1) & \int_{- \infty}^{\infty} | Ψ (X, t) |^{2} d X = 1 \end{matrix}

$\int_{-\infty}^\infty |\Psi (x,t)|^2 dx = 1 \tag{1}$

En otras palabras, la partícula debe estar en algún lugar del espacio en un momento determinado. $t$ . ¿Es esto equivalente a decir que la partícula debe estar en algún lugar en el tiempo en cierta posición? $x$ ?

Mis pensamientos: Por qué no puedo escribir,

\begin{matrix} (2) & \int_{- \infty}^{\infty} | Ψ (X, t) |^{2} d t = 1 \end{matrix}

$\int_{-\infty}^\infty |\Psi (x,t)|^2 dt = 1 \tag{2}$

Cada vez que busco la posición de la partícula, $\Psi$ deja de obedecer la ecuación de Schrödinger y colapsa discontinuamente en un pico alrededor de alguna posición $x$ . Si pudiera enfocar mi microscopio en, digamos $x = 2$ y busque la partícula a lo largo de todo el tiempo (en este caso, el tiempo es la medida en la posición no, por lo que establecer mi microscopio en $x = 2$ no molesta nada), entonces $\Psi$ colapsaría a un pico alrededor de algún valor de $t$ y este método de normalizar la función de onda sería apropiado. Sin embargo, los humanos solo pueden tomar muestras en instantes en el tiempo y observar todo el espacio (ecuación $\textbf{(1)}$ ). No podemos muestrear en un instante en posición y mirar todo el tiempo (ecuación $\textbf{(2)}$ ). Los científicos no pueden buscar la partícula a tiempo. Por lo tanto $\textbf{(2)}$ no es apropiado. Sin embargo, aunque no podamos hacer esto como humanos (buscar a voluntad en el tiempo en lugar de permanecer anclados al presente), ¿es incorrecto decir que la 'naturaleza' no puede lograr $\textbf{(2)}$ ? ¿O tenemos leyes como la segunda ley de la termodinámica que dice que la naturaleza tiene prohibido hacerlo? ¿Es este un ejemplo que muestra cómo el espacio y el tiempo no están en pie de igualdad?

petirrojo

"Cada vez que busco la posición de la partícula, Ψ deja de obedecer la ecuación de Schrödinger y colapsa discontinuamente en un pico alrededor de alguna posición x". Esto es falso . La evolución del tiempo en la mecánica cuántica siempre está de acuerdo con la ecuación de Schrödinger.

Dwade64

@RobinEkman Esa no es la forma en que enseñan Copenhague. Por supuesto, después del colapso, la función de onda evoluciona nuevamente de acuerdo con la ecuación de Schrödinger.

petirrojo

Pues no, pero nadie debería tomarse Copenhague en serio.

Jannik Pitt

@RobinEkman Esto está mal. El salto discontinuo de la evolución temporal unitaria a un estado específico al medir es una de las principales características de la mecánica cuántica.

Ján Lalinský

La ecuación (2) y la interpretación de probabilidad de psi significarían que la probabilidad de detectar la partícula en cualquier punto x durante un tiempo infinito es del 100 %. Esto no refleja ninguna suposición realista o resultado experimental. En realidad, algunas partículas nunca llegan a x, algunas pueden llegar varias veces. En la normalización estándar, se basa en la suposición de que la partícula siempre está en alguna parte. Pero no podemos decir que en ningún punto del espacio, eventualmente se detectará una vez, eso no es realista.

Respuestas (3)

Normalizar la función de onda con respecto al tiempo en lugar del espacio

"Cada vez que busco la posición de la partícula, Ψ deja de obedecer la ecuación de Schrödinger y colapsa discontinuamente en un pico alrededor de alguna posición x". Esto es falso . La evolución del tiempo en la mecánica cuántica siempre está de acuerdo con la ecuación de Schrödinger.
@RobinEkman Esa no es la forma en que enseñan Copenhague. Por supuesto, después del colapso, la función de onda evoluciona nuevamente de acuerdo con la ecuación de Schrödinger.
@RobinEkman Esto está mal. El salto discontinuo de la evolución temporal unitaria a un estado específico al medir es una de las principales características de la mecánica cuántica.
La ecuación (2) y la interpretación de probabilidad de psi significarían que la probabilidad de detectar la partícula en cualquier punto x durante un tiempo infinito es del 100 %. Esto no refleja ninguna suposición realista o resultado experimental. En realidad, algunas partículas nunca llegan a x, algunas pueden llegar varias veces. En la normalización estándar, se basa en la suposición de que la partícula siempre está en alguna parte. Pero no podemos decir que en ningún punto del espacio, eventualmente se detectará una vez, eso no es realista.

fénix87 · Answer 1

Para un sistema cuántico con un grado de libertad en el intervalo cerrado $I$ , el espacio de Hilbert es $L^2(I)$ . En este caso el $I$ es el rango de la coordenada espacial $x$ , por lo que la normalización se aplica con respecto a la medida de Lebesgue sobre $I$ . Ahora suponga que tiene una dinámica descrita por el hamiltoniano $H$ en tal espacio de Hilbert, y que $\psi$ es un estado propio de $H$ con valor propio $E$ . La evolución temporal de $\psi$ es

ψ \mapsto {mi}^{i mi t} ψ .

$\psi\mapsto e^{iEt}\psi.$

Si intentamos ingenuamente integrar esta función, llegamos a

\int_{R} | {mi}^{i mi t} ψ (X) |^{2} d t = \int_{R} | ψ (X) |^{2} d t = | ψ (X) |^{2} \int_{R} d t,

$\int_{\mathbb R}|e^{iEt}\psi(x)|^2\text d t = \int_{\mathbb R}|\psi(x)|^2\text d t = |\psi(x)|^2\int_{\mathbb R}\text dt,$

que es infinito para cada $x\in I$ para cual $\psi(x)\neq 0$ o cero en caso contrario. Entonces tenemos un problema tratando de atribuir el significado de probabilidad a dicha integral. Puede interpretar este resultado como diciendo que una partícula pasará a través $x$ infinitamente a menudo proporcionado $\psi(x)\neq 0$ si espera indefinidamente, pero esta información ya es deducible de $\psi$ en sí mismo, no hay necesidad de hacer tal integral.

Gracias por la respuesta. Usted da un buen ejemplo específico de un estado propio de energía que no es normalizable con respecto al tiempo. Para jugar un poco más con la pregunta, todo lo que dice su respuesta es que los estados de la forma $\exp ^{iEt} \psi_{E}(x)$ no son estados físicamente realizables en un mundo en el que puedes muestrear todo el tiempo en cualquier momento dado. Este es un mundo donde las probabilidades se dan entre dos puntos cualquiera en su línea de tiempo (en lugar de las probabilidades de encontrar la partícula entre dos x). ¿Hay una respuesta más fundamental que podrías dar?
La ecuación de Schrödinger utiliza una única derivada del tiempo y una segunda derivada de la posición (base desigual). ¿Obliga esto a que las densidades de probabilidad se normalicen con respecto a la posición? A menos que no entienda completamente su respuesta, no creo que su respuesta impida la normalización con respecto al tiempo, pero muestra un ejemplo cuando falla
Interesante. En realidad, en este ejemplo que das, y si estamos en el mundo del que estoy hablando (normalizando con respecto al tiempo), tu ejemplo muestra que no puedes medir la energía en mi mundo. Mi mundo esencialmente detiene el flujo del tiempo. Su respuesta muestra que si este es el caso, no existen los estados de energía definidos. (También suponiendo que si normaliza con respecto al tiempo, la función de onda permanece normalizada con respecto a la posición. De lo contrario, su constante de normalización cambiaría con la posición, lo que podría imponer condiciones adicionales a la función de onda que no sean SE)
Desde un punto de vista matemático, el formalismo de QM se deriva de las relaciones canónicas de conmutación, que involucran a los operadores de posición y momento. No existe tal relación de conmutación para el tiempo y la energía (es creencia común que no se puede asociar un operador observable al tiempo; consulte, por ejemplo, physics.stackexchange.com/q/6584 ).
¿Pero estás de acuerdo con mis dos primeros comentarios o no? ¿Su respuesta evita la normalización del tiempo o muestra un ejemplo de cuándo falla? Entonces, supongo que si tuviera que reescribir su respuesta a mi pregunta con el comentario que acaba de dar en mente, ¿diría que la normalización del tiempo no es posible porque ni siquiera es un observable?
No veo la conexión entre la posibilidad de realizar un estado y el hecho de que una integral no es finita en este caso. Desde un punto de vista físico, tiene poco sentido integrar en el tiempo todo el $\mathbb R$ . Es más realista considerar un lapso de tiempo (por ejemplo, un intervalo de tiempo), que puede asociar a una medición. Entonces su integral será finita y puede normalizar cualquier otra de esas integrales a este valor. Sin embargo, como se muestra arriba, dicho factor simplemente se cancelará, mostrando que la información que desea ya está codificada en la función de onda.
No puede tener un estado realizable si no es integrable al cuadrado. Por ejemplo, $\Psi = 0$ satisface la ecuación de Schrödinger pero no se puede normalizar. Entonces, lo que mostraste en tu respuesta fue que los estados de la forma que das no son estados físicos en el mundo que estoy considerando (normalización del tiempo). Encuentro útil su respuesta, pero no veo cómo su respuesta aborda mi pregunta de por qué no normalizamos por tiempo. Sin embargo, creo que respondes en los comentarios diciendo que el tiempo no es observable.

JG · Answer 2

El tiempo no es un observable de mecánica cuántica; es una etiqueta Para entender la diferencia debemos considerar la mecánica clásica, en la que las coordenadas canónicas son funciones de una etiqueta de tiempo. En particular, el tiempo no tiene un momento conjugado con el que tiene un corchete canónico de Poisson.

De manera similar, en la teoría de campos, la acción es una integral del espacio-tiempo sobre una función de los campos dependientes del espacio-tiempo y sus derivados. Estos campos juegan el papel de campos canónicos y sus argumentos juegan el papel de una variable de tiempo, por lo que incluso el espacio no es observable en este contexto porque medimos la amplitud del campo en un evento de espacio-tiempo, no en la ubicación de una sola partícula.

La derivada funcional $\frac{\delta\phi (x)}{\delta \phi (y)}=\delta (x-y)$ y soporte de Poisson $\{\phi(x),\,\pi(y)\}=\delta(x-y)$ generalice resultados análogos de la mecánica cuántica y muestre cómo las etiquetas relacionan las cantidades que se vuelven observables cuando cuantificamos esta teoría.

Diracología · Answer 3

Dado que

\begin{matrix} (1) & \int_{- \infty}^{\infty} | Ψ (X, t) |^{2} d X = 1, \end{matrix}

$\int_{-\infty}^\infty |\Psi (x,t)|^2 dx = 1,\tag1$ implica que la partícula debe estar en algún lugar del espacio en cualquier momento no implica que debe estar en algún lugar del tiempo en una determinada posición

x

$x$ . Para ver esto, considere el ejemplo simple de una partícula en una caja unidimensional (pozo de potencial infinito). La función de onda

ψ

$\psi$ y la densidad de probabilidad

| ψ |^{2}

$|\psi|^2$ de los primeros estados propios se parecen a los de la siguiente figura

Como puede ver, hay ciertos puntos (nodos) tales que $|\psi(t)|^2=0$ lo que significa que la partícula nunca se encontraría allí.

También puede notar que la Ec. (1) representan una suma de probabilidades, por lo que debe ser adimensional. Esto implica que la dimensión de $\psi$ (para sistemas unidimensionales) es $[\mathrm{length}]^{-1/2}$ . Ahora bien, si asumimos que (1) y su interpretación física como una normalización de probabilidades son correctas, entonces la dimensión de

\int_{- \infty}^{\infty} | Ψ (X, t) |^{2} d t,

$\int_{-\infty}^\infty |\Psi (x,t)|^2 dt,$ debe ser

[t i m e] [l e n g t h]^{- 1 / 2}

$[\mathrm{time}][\mathrm{length}]^{-1/2}$ lo que significa que la integral anterior no puede ser igual a uno. Por lo tanto, no puede representar una probabilidad.

Si bien estoy de acuerdo con gran parte de su análisis, no definimos que la función de onda tenga una unidad en particular, sino que definimos su integral con respecto a lo que sea que no tenga unidades: si tal función de onda existiera, tendría unidades de [tiempo] $^{-1/2}$ . Todo es algo inútil ya que el tiempo no es un operador, pero su respuesta vinculada básicamente explica que elegimos la unidad de la función de onda para satisfacer el requisito, no al revés.
@ user121330 No definí la dimensión de $\psi$ cualquiera. De hecho, asumo que las probabilidades son adimensionales.
@ user121330 No estoy muy seguro de lo que quieres decir. Estoy considerando las ecuaciones de OP. (1) y (2). La función de onda $\psi$ es igual en ambas ecuaciones. Entonces asumo la Ec. (1) representan una normalización de probabilidades, por lo tanto, es adimensional y $\psi$ tiene dimensión de $[\mathrm{length}]^{-1/2}$ . Dado este $\psi$ , el último paso es verificar la dimensión de la integral en la Ec. (2) y observe que esa ecuación no puede ser correcta.
Oh. estas asumiendo que $|\Psi(x,t)|^2$ tiene las mismas unidades en ambas ecuaciones, probablemente porque tiene exactamente los mismos símbolos. Yo diría que $\Psi$ tiene unidades contextuales, aunque solo sea porque eso es lo que hace cualquier otra función de onda. No está necesariamente equivocado, pero parece un poco pedante. Por otro lado, te estoy hablando de eso, entonces, ¿en qué me convierte eso...
@Diracology ¿Qué pasa si la densidad de probabilidad tiene dependencia del tiempo? ¿Entonces la integral no dependería del tiempo y podría ser diferente de 1?

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Normalización de la función de onda dada por la forma Aei(kx−wt)Aei(kx−wt)Ae^{i(kx-wt)}

¿Normalización del significado de la función de onda...?

¿Por qué las soluciones no normalizables no pueden representar partículas?

¿Cómo funciona la función de onda de la partícula libre ψ(x,t)=Aexp{i(kx−ωt)}ψ(x,t)=Aexp⁡{i(kx−ωt)}\psi(x,t)=A \exp \{ i(kx-\omega t)\} satisface la condición de normalización? [duplicar]

Prueba de que la constante de normalización de la función de onda es independiente del tiempo

¿Cuál es la interpretación de probabilidad cero en física?

¿Qué significa la notación Ψk/(Ψk,Ψk)1/2Ψk/(Ψk,Ψk)1/2\Psi_k/(\Psi_k,\Psi_k)^{1/2}?

¿Por qué ei(kx−ωt)ei(kx−ωt)e^{i(kx - \omega t)} es una función de onda válida ya que no es finitamente integrable en RR\Bbb R?

Normalización arbitraria de una función de onda de partículas libres

δ(0)=∫∞−∞|x1(x)|2dxδ(0)=∫−∞∞|x1(x)|2dx\delta(0)=\int_{-\infty}^\infty |x_1( x)|^2dx?