Aclaración sobre la notación de campos, formas y álgebra exterior

Bienvenido a la geometría diferencial donde la notación siempre es un problema :)

A Nivel de Espacios Vectoriales.

Primero, aclaremos las cosas a nivel de espacios vectoriales. Entonces deja$V$sea ​​un espacio vectorial real.

• Si$p\geq 1$es un entero entonces por$\bigwedge^p(V)$nos referimos a la$p^{th}$potencia exterior del espacio vectorial$V$. Tenga en cuenta que este es un espacio diferente de$\bigwedge^p(V^*)$(aunque a veces la gente omite el$^*$y puede surgir cierta confusión si se consultan varias fuentes). Para$p=1$,$\bigwedge^1(V):=V$.

• A continuación, enteros dados$r,s\geq 0$, un$(r,s)$tensor en$V$es por definición un elemento de$T^r_s(V):= \underbrace{V\otimes \cdots \otimes V}_{\text{$r$ times}}\otimes \underbrace{V^*\otimes \cdots\otimes V^*}_{\text{$s$ times}}$. Para dimensiones finitas$V$, esto es isomorfo al espacio de$(r+s)$-mapas multilineales$\underbrace{V^*\times\cdots \times V^*}_{\text{$r$ times}}\times \underbrace{V\times\cdots \times V}_{\text{$s$ times}}\to \Bbb{R}$(sí el$r,s$y ubicación de$^*$ha cambiado, esto no es un error tipográfico).

A nivel de paquetes de vectores

Dejar$(E,\pi, M)$sea ​​un paquete vectorial (digamos real). Podemos construir de forma natural haces vectoriales a partir de$E$:

• Para cualquier número entero$p\geq 1$, podemos construir un paquete vectorial$\bigwedge^p(E)$encima$M$. como un conjunto,$\bigwedge^p(E)=\bigcup\limits_{x\in M}\bigwedge^p(E_x)$, es decir, es el haz vectorial cuya fibra sobre un punto$x\in M$es el$p^{th}$poder exterior de$E_x$. Tenga en cuenta que mientras$E$en sí mismo no es un espacio vectorial, todavía usamos la misma notación$\bigwedge^p$para ello; por lo que debe usar el contexto para determinar si estamos hablando de$p^{th}$potencias exteriores de fibrados vectoriales o de espacios vectoriales. Del mismo modo, se puede considerar$\bigwedge^p(E^*)=\bigcup\limits_{x\in M}\bigwedge^p(E_x^*)$.

• para enteros$r,s\geq 0$, podemos construir el$E$-paquete tensorial$T^r_s(E)$encima$M$. como un conjunto,$T^r_s(E)=\bigcup\limits_{x\in M}T^r_s(E_x)$, por lo que es el paquete vectorial cuya fibra sobre$x\in M$es el espacio vectorial$T^r_s(E_x)$. Una vez más, el contexto debe decirle si$T^r_s$es para paquetes vectoriales o para espacios vectoriales.

• Por$\Gamma(E)$, nos referimos al conjunto de mapas suaves$\sigma:M\to E$tal que$\pi\circ \sigma=\text{id}_M$. Estas se denominan "secciones suaves del paquete vectorial".$(E,\pi,M)$", es decir, los "campos en$M$con valores en$E$". Tenga en cuenta que a veces, las personas usan símbolos como$\Gamma^r(E)$significar el conjunto de todos$C^r$mapas$\sigma:M\to E$tal que$\pi\circ\sigma=\text{id}_M$, y por lo tanto$\Gamma^{\infty}(E)$significa las secciones suaves (pero muy a menudo la gente siempre quiere$C^{\infty}$por lo que no pueden especificar el extra$\Gamma^{\infty}$).

Por lo tanto,$\Gamma(\bigwedge^p(E))$significa el conjunto de mapas suaves$\sigma:M\to \bigwedge^p(E)$tal que para cada$x\in M$,$\sigma(x)\in \bigwedge^p(E_x)$. Similarmente$\Gamma(T^r_s(E))$es el conjunto de mapas suaves$\sigma:M\to T^r_s(E)$tal que para cada$x\in M$,$\sigma(x)\in T^r_s(E_x)$, es decir, es un$(r,s)$tensor en el espacio vectorial$E_x$.

Especialización en el Paquete Tangente

Un paquete vectorial muy importante es el paquete tangente a una variedad dada:$\pi:TM\to M$, es decir$E=TM$. Podemos considerar los espacios$\bigwedge^p(TM)$(no tan común),$\bigwedge^p(T^*M)$(más común) y$T^r_s(TM)$. Usualmente, por abuso/acortamiento de la notación escribimos$T^r_s(M)$en lugar de$T^r_s(TM)$(que es la notación más "correcta" y fácilmente generalizable). Ahora,

• A$p$-formulario en$M$es por definición una sección uniforme del paquete vectorial$\bigwedge^p(T^*M)$, es decir, un elemento$\omega\in \Gamma(\bigwedge^p(T^*M))$. Más explícitamente, es un mapeo suave$\omega:M\to \bigwedge^p(T^*M)$que asigna a cada$x\in M$, un elemento$\omega(x)\in \bigwedge^p(T_x^*M)$, que por álgebra lineal es/puede identificarse con un funcional multilineal alterno$\underbrace{T_xM\times\cdots T_xM}_{\text{$p$ times}}\to \Bbb{R}$. Desde$\Gamma(\bigwedge^p(T^*M))$es muy largo de escribir, simplemente escribimos$\Omega^p(M)$para este espacio.

• Un$(r,s)$-campo tensor en$M$por definición significa una sección suave del paquete vectorial$T^r_s(TM)$, es decir, un elemento de$\Gamma(T^r_s(TM))$.

Entonces, teniendo cuidado con la notación, un$p$-forma en el haz cotangente$T^*M$es$\Omega^p(T^*M):=\Gamma(\bigwedge^p(T^*(T^*M)))$. Tenga en cuenta que cuando decimos "p-form on..." o "tensor field on...", "on" se refiere a la variedad base. Así que un campo tensorial en$TM$es una bestia más complicada que un campo tensorial en$M$, y una forma diferencial en$T^*M$es una bestia más complicada que una forma diferencial en$M$etc. Dado que la notación puede salirse de control de inmediato, prefiero decir las cosas con palabras (generalmente es más claro, más fácil de interpretar y mucho menos engorroso).

Por ejemplo, en una variedad de Riemann$(M,g)$, el objeto$g$es un$(0,2)$-campo tensor en$M$, es decir$g\in \Gamma(T^0_2(TM))$(que pasa a ser simétrico y no degenerado). A continuación, en mecánica hamiltoniana, dada una "variedad de configuración"$Q$, el paquete cotangente$T^*Q$tiene una estructura simpléctica natural, y la forma tautológica$\theta$es un formulario 1 en$T^*Q$, es decir$\theta\in \Gamma(T^*(T^*Q))$, y la forma simpléctica es$\omega:=d\theta$es un$2$-formulario en$T^*Q$, entonces$\omega\in \Gamma(\bigwedge^2(T^*(T^*Q)))$.

Los paquetes tangente y cotangente son ejemplos de paquetes vectoriales , que se pueden considerar como familias de espacios vectoriales.$E=\{V_x\}$, parametrizado por los puntos$x$de un múltiple$M$(en este caso, los espacios (co)tangentes). Una sección de tal paquete$E$es un mapa (suave)$s:M\rightarrow E$que se asocia a cada punto$x\in M$un vector en$V_x$. Por ejemplo, un campo vectorial es una sección de$TM$y un$1$-formar una sección de$T^*M$. Para cualquier paquete$E$, el espacio de estas secciones se denota$\Gamma(E)$.

Las operaciones habituales del álgebra lineal (productos tensoriales, toma del dual, etc.) admiten una extensión natural a estas fibras vectoriales, con sólo aplicar la operación en cada punto de la variedad. En particular, las operaciones de tomar el espacio de tensores$T^{n,m}V=V^{\otimes n}\otimes (V^*)^{\otimes m}$y el álgebra exterior del dual$\bigwedge^kV^*$(el espacio de antisimétrico $(0,k)$-tensores) se puede extender a paquetes de vectores.

Ahora el espacio de$(n,m)$-campos tensoriales es solo: