¿Las derivadas covariantes de orden superior son tensores simétricos?

Supongamos que el paquete tangente T METRO de una variedad suave METRO está equipado con una conexión sin torsión. Entonces para una función F en METRO , se puede definir la k derivada de -ésimo orden ∇ k F iterativamente como la derivada covariante de ∇ k − 1 F y ∇ 1 F = d F . Se sabe que la segunda derivada ∇ 2 F es un tensor simétrico. Es ∇ k F un tensor simétrico para todos k ? ¿Alguna referencia?

Sugiero primero hacer el cálculo de una función arbitraria en la unidad 2 -esfera. Para simplificar el cálculo, calcule los valores de las derivadas covariantes solo en un solo punto, ya sea en el polo norte o sur o, si usa coordenadas estereográficas, solo en el origen.

Respuestas (1)

La simetría de la segunda derivada covariante se debe a la identidad de Ricci para cualquier sección S :

∇ X , Y 2 S − ∇ Y , X 2 S = R ( X , Y ) S
dónde
R ( X , Y ) S = ∇ X ( ∇ Y ) S − ∇ Y ( ∇ X ) S − ∇ [ X , Y ] S
y si sustituyes una función suave F para la sección S obtenemos R ( X , Y ) F = 0 y explica la simetría de la segunda derivada covariante.

Para la derivada covariante de tercer orden tenemos la identidad de Bianchi que establece:

∇ X , Y , Z 3 S − ∇ Y , X , Z 3 S = R ( X , Y ) ( ∇ Z S ) − ∇ R ( X , Y ) Z S
y si sustituyes una función suave F para la sección S No creo que el RHS desaparezca. Entonces, al menos para los dos primeros parámetros, no es simétrico.

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