¿Por qué las ecuaciones diferenciales para campos en física son de orden dos?

En primer lugar, no es cierto que todas las ecuaciones diferenciales importantes en física sean de segundo orden. La ecuación de Dirac es de primer orden.

El número de derivadas en las ecuaciones es igual al número de derivadas en el correspondiente término relevante del Lagrangiano. Estos términos cinéticos tienen la forma

Sin embargo, para los bosones que tienen un espín entero, no hay nada como$\gamma_\mu$actuando sobre ellos. Entonces, la invariancia de Lorentz, es decir, la desaparición de los índices de Lorentz en los términos con derivadas, debe lograrse teniendo un número par de ellos, como en

En realidad, también están presentes en las ecuaciones. Pero sus coeficientes son potencias de una escala microscópica o escala de distancia.$L$– porque el origen de estos términos son los fenómenos de corta distancia. Cada vez que sumas una derivada$\partial_\mu$a un término, debe agregar$L$así como no cambiar las unidades del término. En consecuencia, los coeficientes de los términos derivados superiores son potencias positivas de$L$lo que significa que estos coeficientes, incluidas las derivadas, cuando se aplican a una situación macroscópica típica, son del orden$(L/R)^k$dónde$1/R^k$proviene de las derivadas extra$\partial_\mu^k$y$R$es una escala de distancia del problema macroscópico que estamos resolviendo aquí (la escala típica donde el campo cambia en un 100 por ciento más o menos).

En consecuencia, los coeficientes con derivadas más altas pueden despreciarse en todos los límites clásicos. Están ahí pero son insignificantes. Einstein creía que uno debería construir ecuaciones "hermosas" sin los términos derivados superiores y, como resultado, podía adivinar las ecuaciones aproximadas correctas de baja energía. Pero estaba equivocado: los términos derivados superiores no están realmente ausentes.

Ahora bien, ¿por qué no nos encontramos con ecuaciones cuyos términos derivados de menor orden están ausentes? Es porque su coeficiente en el Lagrangiano tendría que ser estrictamente cero, pero no hay razón para que sea cero. Entonces es infinitamente improbable que el coeficiente sea cero. Es inevitablemente distinto de cero. Este principio se conoce como principio anárquico (o totalitario) de Gell-Mann: todo lo que no está prohibido es obligatorio.

Uno puede reescribir cualquier pde de cualquier orden como un sistema de pde de primer orden, por lo tanto, la suposición detrás de la pregunta es algo cuestionable. También existen PDE de primer orden de relevancia para la física (ecuación de Dirac, ecuación de Burgers, por nombrar solo dos).

Sin embargo, es común que las cantidades en física aparezcan en pares conjugados de campos potenciales y su intensidad de campo asociada, definida por el gradiente de potencial. Ahora los gradientes de intensidad de campo actúan como fuerzas generalizadas que intentan mover el sistema a un estado de equilibrio en el que estos gradientes desaparecen. (Solo tendrán éxito si hay suficiente fricción y ninguna fuerza externa).

En una formulación donde solo la mitad de cada par conjugado está explícito en las ecuaciones, resulta una ecuación diferencial de segundo orden.

Por ejemplo, en la formulación hamiltoniana de la mecánica conservativa, tenemos

Aquí, por simplicidad, nos limitaremos a los sistemas que tienen un principio de acción. (Para los sistemas mecánicos fundamentales y cuánticos, este suele ser el caso). Reformulemos la pregunta de OP de la siguiente manera:

¿Por qué las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange para un sistema relativista (no relativista) tienen como máximo dos derivadas del espacio-tiempo (derivadas del tiempo), respectivamente?

(Aquí, el número exacto de derivadas depende de si se considera la formulación lagrangiana o la hamiltoniana, que están relacionadas a través de la transformación de Legendre . En el caso de una transformación de Legendre singular, se debe usar el método de Dirac-Bergmann o el de Faddeev-Jackiw para volver y adelante entre los dos formalismos. Ver también esta publicación de Phys.SE.)

Responder:

Los términos derivados superiores son suprimidos en ciertas teorías por razones dimensionales por las escalas naturales del problema. Esto puede suceder, por ejemplo, en teorías renormalizables.

Pero la respuesta genérica es que las ecuaciones de movimiento en realidad no tienen que ser del orden$\leq 2$.

Sin embargo, para una teoría cuántica genérica de orden superior, si los términos derivados superiores no se suprimen naturalmente, esto generalmente conduce a fantasmas del llamado tipo malo con signo incorrecto del término cinético, estados normativos negativos y violación de unitaridad.

En el nivel ingenuo, las apariencias explícitas de derivadas temporales superiores pueden eliminarse en las fórmulas mediante la introducción de más variables, ya sea mediante el método de Ostrogradsky o, de manera equivalente, mediante el método del multiplicador de Lagrange . Sin embargo, el problema de la positividad no se cura con tales reescrituras debido a la inestabilidad de Ostrogradsky , y el sistema cuántico permanece mal definido. Consulte también, por ejemplo, this y this Phys.SE answer.

Por lo tanto, a menudo no se puede dar un sentido consistente a las teorías de orden superior, y esta puede ser la razón por la que OP rara vez las enfrenta.

Finalmente, mencionemos que hoy en día es popular estudiar la teoría de campo de derivada superior efectiva , con la esperanza posiblemente infundada de que una descripción unitaria subyacente, supuestamente bien definida, por ejemplo, la teoría de cuerdas, curará todas las patologías.

La razón de ser de las ecuaciones de la física, siendo a lo sumo de segundo orden, se debe a la llamada inestabilidad ostrogradskiana. (ver artículo de Woodard ). Este es un teorema que establece que las ecuaciones de movimiento con derivadas de orden superior son, en principio, inestables o no locales. Esto se muestra fácilmente utilizando el formalismo lagrangiano y hamiltoniano.

El punto clave es que para obtener una ecuación de movimiento de tercer orden en las derivadas, necesitamos un Lagrangiano que depende de las coordenadas y las velocidades y aceleraciones generalizadas:$L(q,\dot{q},\ddot{q})$. Al realizar una transformación de Legendre para obtener el hamiltoniano, esto implica que necesitamos dos momentos generalizados. El hamiltoniano resulta ser lineal en al menos uno de los momentos y por lo tanto no está acotado por abajo (puede volverse negativo). Esto corresponde a un espacio de fase en el que no hay órbitas estables.

Me gustaría escribir la prueba aquí, pero ya fue respondida en esta publicación . Ahí la pregunta es por qué los lagrangianos solo tienen una derivada, pero en realidad está estrechamente relacionado, ya que siempre se pueden encontrar las ecuaciones de movimiento a partir de un lagrangiano y viceversa.

Citando a Woodard ( https://arxiv.org/pdf/hep-th/0207191v1.pdf ): "Durante mucho tiempo me ha parecido que la inestabilidad ostrogradskiana es la restricción fundamental más poderosa y menos reconocida sobre la teoría del campo de Lagrange. "Descarta muchos más candidatos a lagrangianos que cualquier principio de simetría. A los físicos teóricos les desagrada que les digan que no pueden hacer algo y un teorema de no-go tan simple les provoca a imaginar evasiones tortuosas. ... La inestabilidad de Ostrogradskian no debería parecer sorprendente. Explica por qué cada uno de los sistemas que hemos observado hasta ahora parece estar descrito, en el nivel fundamental, por un Lagrangiano local que no contiene derivadas superiores a la primera vez. Lo extraño e increíble sería si este hecho fuera simplemente un accidente".

En realidad, las ecuaciones de evolución son incluso más que un segundo orden en el tiempo: no dependen ingenuamente de la derivada de primer orden, es decir, de la "velocidad". Esto puede entenderse fácilmente como el hecho de que no existen marcos inerciales privilegiados. El cambio (es decir, lo absoluto) viene dado por la aceleración y no por la velocidad. Si dependiera ingenuamente de algunos términos de velocidad, implicaría que hay un marco privilegiado.

Hagamos una analogía con la mecánica newtoniana. Si estuviéramos viviendo en un universo de Aristóteles con un marco de referencia privilegiado, entonces$F = mv$. Por lo tanto, el movimiento sería absoluto y también lo sería la velocidad. Porque no existe tal marco de referencia privilegiado, sino toda una clase de privilegiados (los inerciales),$F = ma$. ¿Por qué no puede ser que vivamos en un universo donde$F = m \dot a$? Simplemente por los principios de Galileo.

Si cree que la aceleración y las velocidades son "cancelables", y que el cambio real está dado por la derivada de la aceleración, entonces tendría que creer en un principio galileano de invariancia e inercia de segundo orden. El principio de invariancia de segundo orden le diría que las leyes de la física tienen que ser las mismas en todos los marcos inerciales y en todos los marcos uniformemente acelerados, de lo contrario, significaría que hay una forma de discriminarlos y, por lo tanto, que no hay equivalencia entre siendo inercial o uniformemente acelerado. Esto, en particular, implica que si estás dentro de uno de estos marcos y ves a alguien que está uniformemente acelerado con respecto a tu$x$eje, es decir,$x_1(t) = gt^2/2$, y también ves a alguien acelerado en sentido contrario, es decir,$x_2(t) = -gt^2/2$, entonces desde el punto de vista de$x_2$, el primer objeto será descrito por$x_2(t) = g t^2$. Esto implica que serías capaz de ver objetos con una aceleración alta arbitraria, y esto sin necesidad de consumir ninguna "energía".

Esto no es lo que observamos en este universo, no aceleras uniformemente un objeto "gratis". Entonces parece que la naturaleza eligió ser lo más simple posible para mantener una simetría entre todos los marcos inerciales: su segundo orden en el tiempo, no el tercero o incluso peor. Nótese que se podría decir que es maquiano, es decir, que es simétrico hasta todo orden en aceleración. Esto implicaría que no hay ninguna diferencia entre la rotación y la inercia. Es decir, que si miro a un chico dando vueltas con una pelota en las manos que eventualmente la soltará, entonces la bola hará un movimiento en espiral y su velocidad angular irá aumentando a medida que se aleje del chico. quién lo lanzó (de hecho, este último tiene que verlo ir en línea recta por el principio de inercia de Galileo).

Entonces, ¿por qué la ecuación de Schrödinger depende del primer orden en el tiempo? Porque es una ecuación modal: necesita un observador para que tenga sentido y para hacer la medición. Por lo tanto, hay una ecuación de Schrödinger por observador (el hamiltoniano depende del observador y del sistema que está mirando, vea las interpretaciones relacionales). Al menos, esta es mi interpretación.

En primer lugar, no es cierto que todas las ecuaciones diferenciales importantes en física sean de segundo orden. La ecuación de Dirac es de primer orden.

Esto es correcto. Sin embargo, las ecuaciones de la evolución física son ecuaciones hiperbólicas de segundo orden (en el tiempo). De hecho, cada componente del espinor de Dirac sigue una ecuación de segundo orden, a saber, la ecuación de Klein-Gordon.

Ahora, ¿qué pasa con los términos en las ecuaciones con derivadas cuartas o superiores?

En realidad, también están presentes en las ecuaciones.

Ni el Lagrangiano del Modelo Estándar (SM) ni la acción de Einstein-Hilbert (EH) contienen derivadas temporales superiores al segundo orden. Estas son las acciones que se prueban experimentalmente y estas dos teorías son las teorías científicas más fundamentales que tenemos. Sabemos que hay física más allá de estas dos teorías y las personas tienen buenos candidatos para las teorías subyacentes, pero la física es una ciencia experimental y estas teorías no se verifican experimentalmente. El SM Lagrangian efectivo (una teoría invariante de Lorentz con las simetrías de calibre del SM pero con operadores irrelevantes) contiene derivadas temporales superiores al segundo orden. Igualmente para la acción EH más escalares de orden superior. No obstante, conviene hacer dos aclaraciones:

• Estos términos irrelevantes no se verifican experimentalmente. Casi todo el mundo está seguro de que los términos de masa de neutrinos (que son operadores irrelevantes pero no contienen derivadas de orden superior) existen para explicar las oscilaciones de neutrinos, pero hasta ahora no tenemos mediciones directas de masas de neutrinos, por lo que no podemos afirmar que estos existen términos. Resumiendo: el SM efectivo no es una teoría comprobada.

• El origen de estos términos irrelevantes es consecuencia de la integración de campos con una masa mucho mayor que la escala de energía que nos interesa. Este podría ser el caso del término de masa del neutrino y un neutrino levógira. Por ejemplo, en electrodinámica cuántica, si uno está interesado en la física a energías mucho más bajas que la masa del electrón, puede integrar (o la naturaleza integra) el campo de electrones obteniendo un Lagrangiano efectivo (Euler-Heisenberg Lagrangiano) con términos con derivadas de orden superior como$\frac{\alpha ^2}{m_e^4}~F_{\mu\nu}~F^{\mu\nu}~F_{\rho\sigma}~F^{\rho\sigma}$(que contiene cuatro derivados). Estos son términos suprimidos por constantes de acoplamiento ($\alpha$) y escalas de alta energía ($m_e$). Hay términos con un número de derivadas arbitrariamente alto, y provienen de inversas de operadores diferenciales . Esto hace que las derivadas de orden superior no entren en la ecuación de movimiento de orden cero.

Sin embargo, en una teoría fundamental (en contraste con una efectiva), las derivadas finitas de orden superior no están permitidas en las teorías interactivas (hay algunas excepciones con campos de calibre, pero por ejemplo un genérico$f(R)$teoría de la gravedad es inconsistente). La razón es que esas teorías no están acotadas desde abajo (ver ¿Por qué solo hay derivadas de primer orden en el Lagrangiano? ) o, en algunas cuantizaciones, contienen estados normativos negativos. Estos términos se encuentran entre los operadores prohibidos en el principio totalitario de Gell-Mann.

En resumen, las ecuaciones de evolución son de orden dos debido a la existencia de un estado de vacío normalizable y unitaridad (incluido aquí el hecho de que los estados físicos deben tener una norma positiva). Newton tenía razón cuando escribió

Weinberg da una respuesta bastante buena para esto en el Volumen 1 de su obra QFT: las ecuaciones diferenciales de segundo orden aparecen en las teorías de campo relevantes para la física de partículas debido a la condición relativista de masa y capa.$p^2 = m^2$.

Si tenemos un campo cuántico$\phi$, y pensamos en sus modos de Fourier$\phi(p)$como la creación de partículas con 4-momentum$p$, entonces la condición de capa de masa proporciona una restricción:$(p^2 - m^2)\phi(p) = 0$, porque no queremos la creación de partículas fuera de la cáscara. Fourier-transforma esto de nuevo al espacio de posición, y encuentras que$\phi$debe obedecer a una ecuación diferencial de segundo orden.

De vez en cuando surgen ecuaciones diferenciales de orden superior: las ecuaciones de movimiento para una partícula que experimenta la fuerza de Abraham-Lorentz son de tercer orden. (Aunque para ser justos, esta es una gran parte de la razón por la que a muchos físicos no les gusta el concepto de la fuerza de Abraham-Lorentz).

Ya se señaló en otras respuestas que los campos de la física no siempre se rigen por ecuaciones diferenciales parciales (PDEs) de segundo orden. Se dijo, por ejemplo, que la ecuación de Dirac es una PDE de primer orden. Sin embargo, la ecuación de Dirac es un sistema de PDE para cuatro funciones complejas: componentes del espinor de Dirac. También se mencionó que cualquier PDE es equivalente a un sistema de PDEs de primer orden.

Mencioné anteriormente que la ecuación de Dirac en el campo electromagnético es generalmente equivalente a una ecuación diferencial parcial de cuarto orden para un solo componente complejo, cuyo componente también puede hacerse real mediante una transformación de calibre (http://akhmeteli.org/wp-content /uploads/2011/08/JMAPAQ528082303_1.pdf (mi artículo publicado en Journal of Mathematical Physics) o http://arxiv.org/abs/1008.4828 ). Permítanme mencionar también mi artículo http://arxiv.org/pdf/1111.4630.pdf , donde se muestra que las ecuaciones de la electrodinámica del espinor (la electrodinámica de Dirac-Maxwell) son generalmente equivalentes a un sistema de PDE de tercer orden para campo electromagnético complejo de cuatro potenciales (que produce el mismo campo electromagnético que el campo electromagnético de cuatro potenciales real habitual).

(agregando comentario como respuesta)

En realidad, toda la mecánica clásica (y la mecánica cuántica) se puede formular sólo con derivadas de primer orden (con el costo de agregar dimensiones adicionales, es decir, espacio de fase, formalismo hamiltoniano).

De hecho, esto constituye una descripción dinámica de un sistema físico. Además, cualquier orden de ecuaciones diferenciales se puede convertir en primer orden de la misma manera.

La dinámica no lineal (es decir, la teoría del caos) hace un uso intensivo de solo leyes dinámicas de primer orden en sus estudios.

Agregar más órdenes a las leyes dinámicas, necesita agregar más información (condiciones iniciales) y se vuelve imposible de resolver de manera explícita o algorítmica en la mayoría de los casos.

Además, las leyes dinámicas de primer orden proporcionan (al menos) buenas aproximaciones o incluso una cobertura completa de la evolución dinámica de un sistema en estudio.

La ecuación de onda de segundo orden se puede factorizar, dando como resultado dos ecuaciones de onda de primer orden (ecuación de onda unidireccional). Las ecuaciones de onda de segundo orden son ambiguas con respecto a la dirección de propagación de la onda debido al cuadrado de la velocidad de la onda, mientras que la ecuación de onda unidireccional tiene una dirección de propagación predefinida. Ecuación de onda de segundo orden resp. La "ecuación de onda bidireccional" describe más bien un campo de onda estacionaria.

https://en.wikipedia.org/wiki/One-way_wave_equation#:~:text=A%20one%2Dway%20wave%20equation,propagating%20wave%20travelling%20in%20a

Un poco tarde para la fiesta, pero déjenme agregar algo a las respuestas anteriores.

De hecho, la principal razón debería ser la inestabilidad de Ostrogradsky ya mencionada. Pero hay otros.

En las ecuaciones diferenciales estocásticas, a menudo encontramos la ecuación de Fokker-Planck, mientras que también se puede obtener una descripción con una ecuación de orden superior a partir de la expansión de Kramers-Moyal. Una razón para truncar la expansión después del término de segundo orden es el teorema de Pawula: la expansión termina después del segundo término o tiene un número infinito de términos. Si trunca tal expansión después de un número finito de términos, resolver la ecuación resultante puede generar densidades de probabilidad negativas. (¡vea el libro clásico de Risken!) Pawula llama a esto una 'inconsistencia lógica', lo que creo que es incorrecto, dado que la expansión es asintótica y un pequeño término de error que cambia un valor no negativo a un valor negativo de pequeña magnitud no lo hace. constituyen una incongruencia.

Además, en el modelado de materiales hay materiales de orden superior como en la elasticidad del gradiente de deformación (trabajos de Mindlin y Toupin en los años 60, investigación en curso en la actualidad...). En comparación con estos, la elasticidad clásica se obtiene eliminando los términos de orden superior y, para la mayoría de los intentos y propósitos, la teoría clásica ya será suficiente. Los efectos de los modelos de orden superior solo entran en juego en escenarios especiales, por ejemplo, cuando se modelan fenómenos a pequeña escala. El hecho de que trabaje principalmente con ecuaciones de segundo orden se debe a que son la aproximación más simple y exitosa.

Y ahora, para dar algunos ejemplos de ecuaciones de orden superior (¡no todas las ecuaciones de campo en física son de segundo orden!): https://en.wikipedia.org/wiki/Cahn%E2%80%93Hilliard_equation , https://en .wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Bernoulli_beam_theory , https://en.wikipedia.org/wiki/Kramers%E2%80%93Moyal_expansion , https://en.wikipedia.org/wiki/Korteweg%E2 %80%93De_Vries_ecuación