¿Un grupo de calibre GGG determina el paquete Principal GGG?

Tal vez ayude pensar en el ejemplo de GR: conocer las simetrías locales del espacio-tiempo no fija su métrica (o topología). Solo corrige que localmente 'parece'$\mathbb R^{1,3}$. En ese caso, sabemos cómo se fija esta información adicional: por condiciones iniciales, condiciones de contorno y dinámica. De manera similar, para las teorías/paquetes de calibre no abelianos que se encuentran en el modelo estándar, solo se fija que localmente parece$\mathcal M \times G$. Y de manera similar, su 'geometría' es en principio libre y debe obtenerse a través de la tríada de condiciones iniciales, condiciones de contorno y dinámica. Esta es exactamente la razón por la cual los campos de calibre son dinámicos, con la geometría capturada por la intensidad del campo.$F = dA$. Puedes pensar en mí enviando un paquete de luz a tu manera como yo enviando una onda a través del$U(1)$haz de línea.

En Relatividad General las soluciones clásicas son espaciotiempos$(M,g)$que son variedades de Lorentz. Le insto a observar que la topología de la variedad subyacente es parte de la solución clásica . ¡Entonces la incógnita no es solo el tensor métrico!

En la teoría de calibre, las cosas son bastante similares. Dado un grupo de Lie compacto y semi-simple$G$podemos construir varios principales$G$-paquetes sobre el mismo colector base$M$. Uno de ellos es el paquete trivial.$\pi_1:M\times G\to M$, dónde$\pi_1$es la proyección sobre el primer factor, y donde la derecha$G$-la acción es

Pero obviamente esto no es todo. Tenemos paquetes no triviales que no toman esta forma de producto simple con este simple$G$-acción (1). Son topológicamente diferentes del paquete trivial.

Ahora, el campo de calibre es de hecho una conexión en un principal$G$-paquete, y cuál es el específico$G$-bundle es parte de la especificación de la solución en la medida en que la topología del espacio-tiempo es parte de la especificación de la solución GR clásica .

Resulta que cada director$G$-bundle es, por definición, localmente isomorfo al paquete trivial. Esta correspondencia se especifica eligiendo una sección local$\sigma : U\subset M\to \pi^{-1}(U)$y definiendo$h:U\times M\to \pi^{-1}(U)$ser$h(x,g)=\sigma(x)\cdot g$. En un conjunto abierto localmente trivial de este tipo, la conexión se codifica en un álgebra de Lie de una forma valorada$A : U\to T^\ast U\otimes \mathfrak{g}$. Este es el objeto al que estamos acostumbrados en la teoría de Yang-Mills.

¡Pero cuidado! Cuando el paquete principal no es el trivial entonces$A$ no está globalmente definida en todo el espacio-tiempo . En ese caso de topología no trivial, no puede representar la conexión por un solo$A$. Más bien, debe cubrir la variedad base subyacente mediante conjuntos abiertos$\{U_i\}$sobre el cual se puede trivializar el paquete. en cada uno de los$U_i$entonces tienes uno$A_i$y para que den una conexión bien definida en el haz principal deben obedecer ciertas condiciones de compatibilidad en los solapes.

Ahora compare de nuevo con GR. la métrica$g$en cada dominio de coordenadas está especificado por los componentes$g_{\mu\nu}$. A menudo, un solo gráfico no cubrirá todo el múltiple y tendrá varios en los que tiene las cantidades.$g_{\mu\nu}$, que obedecen a condiciones de compatibilidad en los solapamientos para que den lugar a un objeto intrínseco bien definido$g$.

Entonces, en resumen, la respuesta a "¿Un grupo de calibre G determina el paquete G principal?" es que no, hay varios principales topológicamente no equivalentes$G$-paquetes sobre la misma variedad base y estos datos son parte de la especificación de la configuración del campo de calibre de la teoría de calibre.