Matriz monodrómica y ecuaciones diferenciales

Voy a explicar cómo surge el enfoque de monodromía para el cálculo de bloques conformes semiclásicos.

El objetivo es calcular el bloque conforme correspondiente al intercambio de operadores$\mathcal{O}$en la función de cuatro puntos

$$\langle V_1(z_1)V_2(z_2)V_3(z_3)V_4(z_4)\rangle,\qquad (1)$$ en $V_1V_2-V_3V_4$canal. Aquí tenga en cuenta que, dado que estamos hablando de algo determinado completamente por el álgebra conforme, en realidad solo podemos considerar el problema holomorfo. Así que aquí $V_i$son los operadores formales caracterizados por peso conforme $h_i$.

Ahora bien, es conveniente alguna reparametrización del problema,

$$h_i=\frac{1}{b^2}\delta_i,\quad h_\nu=\frac{1}{b^2}\delta_\nu, \quad \delta_i=\frac{1-\lambda_i^2}{4},\quad \delta_\nu=\frac{1-\nu^2}{4},\\ c=1+6(b+b^{-1})^2,$$ dónde $h_\nu$es la dimensión de lo intercambiado $\mathcal{O}$.

Consideremos ahora la función de 5 puntos

$$\langle V_{(1,2)}(z)V_1(z_1)V_2(z_2)V_3(z_3)V_4(z_4)\rangle,$$ dónde $V_{(1,2)}$es un campo degenerado de Virasoro (estoy usando la notación de Di Francesco, creo). Por supuesto, este campo no necesita existir en la teoría, solo lo estamos considerando formalmente aquí, ya que refleja las propiedades del álgebra conforme. Este correlador satisface una ecuación diferencial debido a la degeneración de $V_{(1,2)}$, $$\left[\frac{1}{b^2}\frac{\partial^2}{\partial z^2}+\sum_{i=1}^4\left(\frac{h_i}{(z-z_i)^2}+\frac{1}{z-z_i}\frac{\partial}{\partial z_i}\right)\right]\langle V_{(1,2)}(z)V_1(z_1)V_2(z_2)V_3(z_3)V_4(z_4)\rangle=0,$$ y cualquier bloque conforme de este correlador satisface la misma ecuación (porque esta ecuación es una propiedad que se deriva solo del álgebra conforme; puede verificar esto explícitamente insertando operadores de proyección en el correlacionador y usando el hecho de que conmutan con todos los generadores de Virasoro) .

Luego consideramos un bloque conforme específico, el dado por la imagen donde fusionas$V_1$y$V_2$para obtener$\mathcal{O}$, entonces$\mathcal{O}$se fusiona con$V_{(1,2)}$convertirse en algunos$\mathcal{O}'$y luego$\mathcal{O}'$se convierte$V_3$y$V_4$. Debería pensar en esto como el bloque conforme para$(1)$donde el intermedio$\mathcal{O}$interactúa con$V_{(1,2)}$.

Consideramos el límite de carga central grande$c$, correspondiente a$b\to 0$, y simultáneamente tomamos$h_i$,$h_\nu$ser grande, manteniendo$\delta_i,\delta_\nu$fijado. La suposición física es que, dado que la dimensión de escala de$V_{(1,2)}$permanece finito en este límite, el bloque conforme de 5 puntos viene dado por la fórmula

$$\langle V_{(1,2)}(z)V_1(z_1)V_2(z_2)V_3(z_3)V_4(z_4)\rangle_{CB}=\psi(z|z_i)e^{\frac{1}{b^2}f_{\nu,\delta_i}(z_i)},$$ dónde $\psi(z|z_i)$es la ``función de onda'' de la luz $V_{(1,2)}$en el fondo del bloque conforme semiclásico de 4 puntos $e^{\frac{1}{b^2}f_{\nu,\delta_i}(z_i)}$. No estoy seguro si hay una prueba de esta afirmación en la literatura. Lo que sí sabemos es que se puede probar y se ha probado.

Reemplazando este ansatz en la ecuación diferencial para el bloque conforme de 5 puntos, encontramos una ecuación de onda

$$\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}+\psi\sum_{i=1}^4\left(\frac{\delta_i}{(z-z_i)^2}+\frac{c_i}{z-z_i}\right)=0,$$ dónde $$c_i=\frac{\partial f_{\nu,\delta_i}}{\partial z_i}$$ son los llamados parámetros accesorios. (Hay cuatro de ellos, pero solo uno es independiente. Esto se debe a que el bloque conforme semiclásico de 4 puntos es conformemente covariante, y esto induce relaciones entre $c_i$. P.ej $\sum_{i=1}^4 c_i=0$debido a la invariancia traslacional de $f_{\nu,\delta_i}$).

Ahora estamos en posición de entender de dónde viene el problema de la monodromía. Puede ver que obtuvimos una EDO de segundo orden para$\psi$, que tiene dos soluciones linealmente independientes, mientras que$\psi$debería determinar, al parecer, sólo un bloque conforme de 5 puntos. Entonces, ¿cuál es la interpretación de las dos soluciones? Resulta que en realidad hay dos bloques conformes que estamos determinando. De hecho, cuando estábamos especificando el bloque conforme de 5 puntos, el operador$\mathcal{O}$convertido en operador$\mathcal{O}'$después de la interacción con$V_{(1,2)}$. ¿Qué es este operador? Bueno, desde$V_{(1,2)}$es un campo degenerado, solo puede tener una función de tres puntos distinta de cero$\langle \mathcal{O}V_{(1,2)}\mathcal{O}'\rangle$si la dimensión de escala de$\mathcal{O}'$es$h'=h_\nu\pm \frac{\nu}{2}$.

De hecho, estamos calculando dos bloques de 5 puntos, y es por eso que hay dos soluciones para$\psi$. Ahora bien, ¿cómo podemos identificar las dos combinaciones lineales específicas correspondientes a los bloques que buscamos? Al calcular el bloque de 5 puntos, reemplazamos$V_1(z_1)V_2(z_2)$con$\mathcal{O}(z_1)$y sus descendientes, y luego, por$|z-z_1|>|z_1-z_2|$, reemplazamos$\mathcal{O}(z_1)V_{(1,2)}(z)$por$\mathcal{O}'(z_1)$. Pensando en las dimensiones de escala, uno puede encontrar que el bloque conforme de 5 puntos debe tener una expansión para$|z_2-z_1|<|z-z_1|<|z_3-z_1|,|z_4-z_1|$de la forma

$$\sum_n a_n (z-z_1)^{h_{\mathcal{O}}+h_{(1,2)}-h_{\mathcal{O}'}}$$ . Entonces se sigue que la monodromía del bloque de 5 puntos cuando $z$gira en sentido contrario a las agujas del reloj $z_1$y $z_2$(tenemos que dar la vuelta $z_2$ya que esta expansión solo funciona para $|z_2-z_1|<|z-z_1|$) es $$\exp\left\{2\pi i\left(h_{\mathcal{O}}+h_{(1,2)}-h_{\mathcal{O}'}\right)\right\}=-\exp(\pm i\pi\nu),$$ donde el $\pm$corresponde a la elección del bloque conforme como en $h'=h_\nu\pm \frac{\nu}{2}$.

Vemos así que la base de soluciones correspondientes a los dos posibles bloques conformes de 5 puntos diagonaliza la monodromía alrededor de los puntos$z_1$y$z_2$, y las monodromías tienen que ser muy específicas. En esta base, la matriz de monodromía para el contorno$\gamma_{12}$dando vueltas$z_1,z_2$en sentido antihorario es entonces

$$M(\gamma_{12})=\begin{pmatrix} -e^{i\pi\nu} & 0\\ 0 & -e^{-i\pi\nu} \end{pmatrix}.$$ Una forma invariante de base para caracterizar esta monodromía es decir $$\mathrm{tr} M(\gamma_{12})=-2\cos\pi\nu,$$ y esto determina de forma única los valores propios (porque la matriz de monodromía tiene que ser unimodular en este caso, pero no recuerdo por qué).

Ahora, es un buen momento para dar un paso atrás y recapitular. En lugar de calcular directamente el bloque conforme semiclásico de 4 puntos, consideramos cómo entra en el cálculo de un bloque conforme de 5 puntos con un campo degenerado. Encontramos que el bloque de 5 puntos está determinado por una EDO de segundo orden. Los coeficientes en esta EDO están determinados por el bloque conforme semiclásico de 4 puntos. La consistencia requiere entonces que esta EDO tenga una propiedad monodrómica específica; esto restringe los coeficientes de la ODE y, por lo tanto, el bloque conforme semiclásico de 4 puntos.