Difeomorfismos y condiciones de frontera

La parte más difícil es obtener un conjunto de condiciones de contorno consistentes en primer lugar; esto requiere una combinación de conjeturas educadas, conocimientos físicos, experiencia previa con problemas relacionados, cálculos detallados y prueba y error. En resumen, es un poco un arte.

Sin embargo, una vez que tiene un conjunto de condiciones de contorno (como en su caso, las condiciones de contorno de NHEK), las cosas son bastante sencillas.

Permítanme denotar la métrica de fondo asintótica por$g$y las fluctuaciones dependientes del estado por$h$, de modo que cualquier métrica de la forma$g+O(h)$está permitido por las condiciones de contorno.

Su objetivo es verificar cuáles son las transformaciones de calibre que preservan sus condiciones de contorno. En gravedad pura, estos deben ser algunos difeomorfismos generados por algún campo vectorial$\xi$, tal que

$$\begin{equation} L_\xi (g+h) = O(h) \end{equation}$$ dónde $L_\xi$es la derivada de Lie. Dado que esta es una ecuación para un tensor simétrico en $D$dimensiones que obtienes $D(D+1)/2$PDE lineales independientes de primer orden para el campo vectorial $\xi$.

Si trató de resolver la ecuación anterior, precisamente estaba haciendo lo correcto, lo que con suerte responde parte de su pregunta. Permítanme abordar ahora la otra parte, es decir, cómo resolver estas PDE.

En muchos ejemplos, puede resolver el campo vectorial más general$\xi$compatible con la condición anterior simplemente adivinando un Ansatz adecuado y luego demostrando que funciona.

En la mayoría de las aplicaciones, tiene alguna expansión en serie de la métrica asintótica en potencias de alguna coordenada radial$r$(o en exponenciales de$r$, depende de su elección de calibre para la coordenada radial).

Para reducir el desorden, supongamos que los diversos componentes tensoriales de$g$y$h$se expresan en algunas series de Laurent de$r$, y eso$r\to\infty$corresponde al límite asintótico.

Entonces simplemente haces el mismo tipo de serie de potencias Ansatz para el campo vectorial$\xi$. Por lo general, todos los componentes del campo vectorial comienzan en$O(1)$o más pequeño, pero este no tiene por qué ser el caso. Si no tienes ni idea, haz el Ansatz

$$\begin{equation} \xi^0 = r^{n_0} (\xi^0_0 + \xi^0_1/r + ...) \end{equation}$$ donde el coeficiente funciona $\xi^0_i$se les permite depender de todas las coordenadas de frontera a priori. Haces un Ansatz similar para todos los demás componentes del campo vectorial.

Al evaluar las condiciones de la variación de Lie, se determinan los exponentes$n_i$y puede imponer restricciones a las funciones$\xi^i_j$.

Consulte, por ejemplo, el ejercicio (17.1) en los ejercicios de la semana 7 en mi página web de enseñanza http://quark.itp.tuwien.ac.at/~grumil/teaching.shtml para obtener una visita guiada a través del AdS estándar$_3$ejemplo. Si nunca ha hecho este tipo de cálculo antes, le recomiendo que comience con ese ejemplo antes de romper el NHEK.

[En una nota al margen, nunca he intentado implementar este algoritmo en Mathematica, ya que generalmente trabajo en 3 dimensiones donde un cálculo manual es bastante rápido, pero no veo ninguna razón por la que no debería funcionar en Mathematica.]