¿Por qué las ecuaciones de campo deben ser diferenciales?

Esto realmente no responde a su pregunta de por qué la ecuación debería ser diferencial. Pero creo que las dos nociones de localidad que mencionaste son simplemente equivalentes, si no me equivoco.

Probemos que la segunda definición implica la primera. Uno tiene que demostrar que si un punto$x$no pertenece a la$supp(f)$después$x$no pertenece a la$supp(Df)$. Efectivamente, entonces existe una vecindad abierta$V$de$x$tal que$f|_V=0$. Por lo tanto, por la suposición$Df|_V=0$. Por eso$x\not\in supp(Df)$de acuerdo a lo pedido.

Probemos ahora el enunciado inverso de que la primera definición implica la segunda. Asumir que$f|_V=g|_V$. Después$(f-g)|_V=0$. Por eso$supp(f-g)\cap V=\emptyset$. Como consecuencia$supp(D(f-g))\cap V=\emptyset$, es decir$D(f-g)|_V=0$. Eso significa que$Df|_V=Dg|_V$.

Todos los fenómenos físicos ocurren en un sustrato, medio o 'espacio'. Este espacio tiene propiedades que garantizan la estabilidad del sistema, como la existencia de una velocidad de propagación característica de 'c'. La reacción permitida en cada punto del espacio, y en cada momento, es estrictamente debida al entorno local, su vecindad inmediata y por tanto no se permite la 'acción a distancia', ni los infinitos.
Este entorno físico (1D) se ilustra en esta imagen (por Hans de Vries) y se encuentra en su libro en línea "Understanding Relativistic Quantum Field Theory" . Este medio permite la propagación de la ecuación de onda clásica

ψ es el desplazamiento vertical en el modelo mecánico. ...la ecuación se satisface con cualquier función arbitraria que se desplace con una velocidad v (o −v). Una función "estirada" por un factor v tiene sus pendientes disminuidas por un factor v, mientras que sus derivadas de segundo orden son más bajas por un factor$v^2$.

No todos los campos siguen el principio de superposición. Un campo de temperatura no lo hace. Un campo de presión lo hace, etc.

Esas palabras en el libro de Landau-Lifshitz son un intento de "justificar" las ecuaciones obtenidas principalmente empíricamente en el marco de un enfoque diferencial.

No está claro cuál debería ser el significado físico de local . Hay una gran literatura sobre esto, y no hay un consenso abrumador. Vea mi propia pregunta, donde acepté lo que parecía ser la mejor respuesta, aunque nada se resolvió por completo. Localidad en Mecánica Cuántica La referencia que me proporcionaron fue extremadamente interesante, ver arXiv:quant-ph/9809030 Además, los operadores de posición que han sido propuestos para la Mecánica Relativista de Partículas tienen propiedades de no localidad muy inconvenientes. Además, es un mito que la relatividad especial prohíba la propagación de información a una velocidad superior a la de la luz, como ha demostrado el Prof. Geroch de Chicago en «¿Faster than Light?» http://arxiv.org/abs/1005.1614por lo que la base física de lo que debería ser la localidad es bastante complicada... y aún no está clara para mí.

Tenga en cuenta la respuesta de @MKO que demuestra que las definiciones de localidad son equivalentes. Dicho esto, no todas las teorías de campos llevan a los operadores lineales (p. ej., la relatividad general), por lo que no se puede utilizar el argumento de la linealidad en general.

De hecho, a veces uno tiene ecuaciones algebraicas para algunos campos; en todos los ejemplos que puedo nombrar, estos campos son redundantes, lo que significa que no transmiten ninguna información sobre la dinámica del sistema.

Si lo piensa, los operadores diferenciales son los operadores locales más generales que puede construir con un conjunto dado de funciones en un espacio "suficientemente agradable" (¿conectado y tal vez incluso fluido?). Por supuesto, estoy incluyendo operadores algebraicos (de orden cero).

Entonces, al describir la dinámica local, puede tener un operador diferencial (realmente) (orden$\geq 1$) o simplemente un operador algebraico. Pero las ecuaciones algebraicas arreglan el sistema sin darte la posibilidad de determinar los datos iniciales, por lo que son restricciones.

Este razonamiento parece dejar solo operadores diferenciales. La verdad es que aún podría escribir ecuaciones algebraicas que traigan a la solución de la dinámica del sistema al incluir las constantes arbitrarias que servirán como datos iniciales. Pero ser capaz de escribir un sistema de ecuaciones de este tipo significa que uno ya conoce la forma de la solución: los operadores que está utilizando deberán contener la forma explícita de la solución de alguna manera.

Por lo tanto, usar ecuaciones algebraicas no es muy diferente de tener las soluciones finales ya escritas (tal vez reorganizadas de manera desordenada).

Una teoría que predice algo tendrá que ser diferente. Ergo, si el espacio y los campos son "suficientemente agradables" (el caso habitual de la teoría de campos, sin celosía ni nada raro), te quedan los operadores diferenciales. Son solo los operadores más genéricos que utilizan la información contenida en los campos localmente (es decir, barrio por barrio).