Cómo se desvanece el término límite en la variación de la acción

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Cómo se desvanece el término límite en la variación de la acción

acción
Física
términos-límite
formalismo lagrangiano
principio variacional

usuario12906

En las notas de la conferencia QFT de David Tong ( Quantum Field Theory: University of Cambridge Part III Mathematical Tripos, Lecture notes 2007, p.8 ), afirma que

Podemos determinar las ecuaciones de movimiento por el principio de mínima acción. Variamos el camino, manteniendo los puntos finales fijos y requerimos $\delta S=0$ ,
$\begin{aligned} d S & = \int d^{4} X [\frac{\partial L}{\partial ϕ_{a}} d ϕ_{a} + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ_{a})} d (\partial_{m} ϕ_{a})] \\ (1.5) & = \int d^{4} X [\frac{\partial L}{\partial ϕ_{a}} - \partial_{m} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ_{a})})] d ϕ_{a} + \partial_{m} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ_{a})} d ϕ_{a}) \end{aligned}$ $\begin{align} \delta S &= \int d^4x\left[\frac{\partial \mathcal L}{\partial\phi_a}\delta\phi_a+\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)}\delta(\partial_\mu\phi_a)\right] \\&= \int d^4x\left[\frac{\partial \mathcal L}{\partial\phi_a} -\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)}\right) \right]\delta\phi_a +\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)}\delta\phi_a\right) \tag{1.5} \end{align}$ El último término es una derivada total y se anula para cualquier $\delta\phi_a(\vec x,t)$ que decae en el infinito espacial y obedece $\delta\phi_a(\vec x,t_1)=\delta\phi_a(\vec x,t_2)=0$ . requiriendo $\delta S=0$ para todos esos caminos produce las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange para los campos $\phi_a$ , $\begin{matrix} (1.6) & \partial_{m} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ_{a})}) - \frac{\partial L}{\partial ϕ_{a}} = 0 \end{matrix}$ $\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)}\right) -\frac{\partial \mathcal L}{\partial\phi_a} =0 \tag{1.6}$

¿Alguien puede explicar un poco más por qué desaparece el último término de la ecuación (1.5)?

Respuestas (2)

Cómo se desvanece el término límite en la variación de la acción

luksen · Answer 1

El término se desvaneció porque podemos traducir este término a uno que hace una declaración sobre los campos en el límite y suponer que los campos mismos se desvanecen en el infinito espacial y temporal.

Por el teorema de Stokes, podemos traducir integrales de volumen a integrales de superficie. Más específicamente, el teorema de Gauss establece que la integral de una divergencia de un campo sobre un volumen (denotado $V$ ) a una integral del propio campo sobre la superficie de ese volumen (denotado $\partial V$ )

\int_{V} división \vec{A} d V = \int_{\partial V} \vec{A} d \vec{S}

$\int_V \textrm{div} \vec{A}\,\textrm{d}V= \int_{\partial V} \vec{A}\,\textrm{d}\vec{S}$

Esto es cierto en cualquier dimensión y métrica. En el espacio de Minkowski, la divergencia (llamada cuádruple divergencia) es exactamente $\partial_\mu\phi$

Por lo tanto, puede traducir

\int_{V} \partial_{m} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)}) d V = \int_{\partial V} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)} d Σ_{m}

$\int_V \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)\, \textrm{d}V = \int_{\partial V} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\, \textrm{d}\Sigma_\mu$

es decir, si asumimos que los campos (y por lo tanto la densidad lagrangiana) se desvanece en el infinito, este término se desvanece.

Tenga en cuenta que no es suficiente que los campos simplemente desaparezcan en el infinito, deben desaparecer lo suficientemente rápido en función de la distancia. $r$ al origen que el $r$ -la dependencia de lo que estás integrando "supera" a la $r$ -dependencia del volumen de la esfera de radio $r$ .

joshfísica · Answer 2

El último término es de la forma

\int d^{norte} X \partial_{m} X^{m}

$\int d^n x \partial_\mu X^\mu$ y por el teorema de Stoke, esto es igual a una integral de superficie en

\infty

$\infty$

\int_{\infty} d s^{m} X_{m}

$\int_\infty ds^\mu X_\mu$ que se desvanece siempre

X^{μ} \to 0

$X^\mu\to 0$ suficientemente rápido en el infinito.

Apéndice. Me doy cuenta de que esta es una respuesta bastante concisa, así que permítanme agregar algunos detalles. Observe que el elemento de área de superficie orientada $ds^\mu$ del $n$ -la esfera tiene el comportamiento

d s^{m} = d A_{norte - 1} r^{norte - 1} {\hat{norte}}^{m}

$ds^\mu = dA_{n-1} r^{n-1} \,\hat n^{\mu}$ allá

n^{μ}

$n^\mu$ es la unidad que apunta radialmente hacia afuera normal y

d A_{n - 1}

$dA_{n-1}$ es el elemento de área en la unidad

n - 1

$n-1$ esfera. Por ejemplo, en dos dimensiones espaciales tenemos

d s^{m} = \underset{elemento de longitud en el círculo unitario}{\underset{⏟}{d A_{1}}} r {\hat{norte}}^{m}

$ds^\mu = \underbrace{dA_1}_{\text{length element on unit circle}} r\,\hat n^\mu$ mientras que en tres dimensiones espaciales

d s^{m} = \underset{elemento de área en la unidad 2-esfera}{\underset{⏟}{d A_{2}}} r^{2} {\hat{norte}}^{m}

$ds^\mu = \underbrace{dA_2}_{\text{area element on unit 2-sphere}} r^2\, \hat n^\mu$ La integral de superficie en el "infinito" se puede considerar como el límite de la integral sobre la superficie de la esfera a medida que aumenta el radio de la esfera;

\int_{\infty} d s^{m} X_{m} = \underset{r \to \infty}{límite} \int_{S^{norte - 1}} d A_{norte - 1} r^{norte - 1} {\hat{norte}}^{m} X_{m} (r, \vec{ϕ})

$\int_\infty ds^\mu X_\mu = \lim_{r\to\infty}\int_{S^{n-1}}dA_{n-1}\, r^{n-1}\hat n^\mu X_\mu(r, \vec\phi)$ Dónde

\vec{ϕ}

$\vec\phi$ son coordenadas en la esfera. Ahora observe que siempre que, por ejemplo,

X^{μ} \sim r^{- n}

$X^\mu\sim r^{-n}$ como

r \to \infty

$r\to\infty$ , esta integral de superficie se desvanecerá en el gran

r

$r$ límite.

Gran respuesta. ¿Vale la pena señalar aquí que podrían existir términos límite de acción finita donde $X^\mu \sim 1/r^{n-1}$ , por ejemplo, instantes.
Entonces, de acuerdo con su respuesta, el término mencionado por el interrogador ( $\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)}\delta\phi_a\right)$ ) no desaparece en el caso de 4 dimensiones, ¿no es así? @oshphysics

Cómo se desvanece el término límite en la variación de la acción

usuario12906

Respuestas (2)

luksen

joshfísica

luksen

joshfísica

innisfree

ROBIN RAJ

ROBIN RAJ

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