¿Por qué la acción es un funcional de qqq solamente?

Question

SRS

La acción de una partícula se escribe como

S [q] = \int d t L (q (t), \dot{q} (t), t) .

$S[q]=\int dt\hspace{0.2cm} L(q(t),\dot{q}(t),t).$ ¿Cómo puedo entender por qué?

S

$S$ es un funcional de

q

$q$ , y no la de

\dot{q}

$\dot{q}$ ? Asumiendo

L = \frac{1}{2} m {\dot{q}}^{2} - V (q)

$L=\frac{1}{2}m\dot{q}^2-V(q)$ y

V (q) = α q^{2}

$V(q)=\alpha q^2$ (a modo de ejemplo), ¿cómo puedo entender que

S = S [q]

$S=S[q]$ y

S \neq S [q, \dot{q}]

$S\neq S[q,\dot{q}]$ ?

qmecanico · Answer 1

la notación $q$ en lo funcional $S[q]$ representa toda la curva/trayectoria parametrizada $q:[t_i,t_f]\to \mathbb{R}$ , no solo una sola posición. En particular, la ruta parametrizada ya lleva toda la información sobre la derivada $\dot{q}\equiv\frac{dq}{dt}$ , por lo que no es necesario incluirlo como argumento adicional en la acción.
Por el contrario, el lagrangiano $L(q(t),v(t),t)$ en algún momento $t$ es una función de
- la posición instantánea $q(t)$ En el momento $t$ ;
- la velocidad instantanea $v(t)$ En el momento $t$ ; y
- el tiempo $t$ (también conocido como dependencia del tiempo explícita).
Consulte también esta y estas publicaciones relacionadas con Phys.SE.

Pero el Lagrangiano también está parametrizado por $q(t)$ , todo el camino. ¿no es así? Pero todavía escribimos $L=L(q,\dot{q})$ . @qmecanico