¿Campos que se prestan a principios variacionales? [duplicar]

Dado que lo ha etiquetado como teoría clásica de campos, asumo que está preguntando qué propiedades$\phi(x)$debe tener que admitir ecuaciones de movimiento que pueden derivarse de un principio de acción.

La propiedad$\phi(x)$debe tener que ser manejable por un principio de acción es que debe satisfacer ecuaciones de movimiento que son ecuaciones de Euler-Lagrange para alguna acción.

Desafortunadamente, no conozco ningún documento sobre qué propiedades$\phi(x)$debe tener, pero hay un teorema clásico sobre qué propiedades deben tener las ecuaciones, en mecánica clásica. si uno tiene$u : [0,T] \to \mathbb R^n$que es diferenciable y satisface$\ddot u = f^i(u, \dot u)$, requerimos que para la existencia de Lagrangian, la existencia de una matriz simétrica no singular$M_{ij}(u,\dot u)$satisfactorio:

1. $$(M \Phi) = (M\Phi)^T$$
2. $$\forall_{i,j}\quad \dot M_{ij} = \frac12 \frac{\partial f^k}{\partial \dot u^i} M_{kj} + \frac12 \frac{\partial f^k}{\partial \dot u^j} M_{ki}$$
3. $$\forall_{i,j,k} \quad \frac{\partial M_{ij}}{\partial \dot u^k} = \frac{\partial M_{ik}}{\partial \dot u^j}$$

dónde$\Phi^i_j = \frac12 \partial_t \partial_{\dot u^j} f^i - \partial_{u^j}f^i - \frac14 (\partial_{\dot u^k} f^i)(\partial_{\dot u^j} f^k)$. Estas son las condiciones de Helmholtz. No conozco una generalización a la teoría de campos, pero este trabajo se ha ampliado en artículos como aquí , aquí y las citas de este artículo . Otra forma de ver estas condiciones es como las de$0+1$-Teoría de campos dimensionales.