¿Por qué las derivadas segundas o superiores funcionan para encontrar concavidades y puntos de inflexión?

Question

¿Por qué las derivadas segundas o superiores funcionan para encontrar concavidades y puntos de inflexión?

cálculo
funciones
Matemáticas
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aritmética de intervalos

Lex_i

Digamos que tenemos la función $f(x)=(x-2)^3+3$ , cuya gráfica es

y queremos encontrar en qué regiones $f$ tienen una concavidad positiva/negativa, y dónde están los puntos de inflexión.

Aprendí a responder estas preguntas haciendo:

\begin{aligned} F^{^{'}} (X) & = 3 (X - 2)^{2} \\ F^{^{″}} (X) & = 2 \cdot 3 (X - 2)^{1} \\ F^{^{″}} (X) & = 0 ⟹ X = 2 \\ F (2) & = 3 \end{aligned}

$\begin{align*} f^{'}(x) &= 3(x-2)^2 \\ f^{''}(x) &= 2\cdot 3(x-2)^1 \\ f^{''}(x) &= 0 \implies x = 2 \\ f(2)&= 3 \end{align*}$

∴

$\therefore$ La concavidad es positiva dentro

(2, \infty)

$(2, \infty)$ , negativo dentro

(- \infty, 2)

$(- \infty, 2)$ Puntos de inflexión):

(2, 3)

$(2, 3)$

Pero, ¿por qué funciona esto? ¿Tendré problemas cuando la función tenga múltiples puntos de inflexión o debo ser más cuidadoso? ¿Y si el grado de una función fuera muy alto, digamos de grado 6? ¿Tendría que seguir calculando la derivada hasta obtener una derivada de grado 1 o solo se tarda hasta la segunda derivada?

Ninguna posibilidad

Tengo entendido que primero usa la prueba de la segunda derivada, si falla, use la prueba de la derivada más alta. La prueba de la segunda derivada, como su nombre indica, es independiente del grado del polinomio siempre que tenga un grado > 2. Echa un vistazo al capítulo 5 de: books.google.com.eg/…

Lex_i

¿Cómo sé que la segunda derivada falla?

Respuestas (1)

¿Por qué las derivadas segundas o superiores funcionan para encontrar concavidades y puntos de inflexión?

Tengo entendido que primero usa la prueba de la segunda derivada, si falla, use la prueba de la derivada más alta. La prueba de la segunda derivada, como su nombre indica, es independiente del grado del polinomio siempre que tenga un grado > 2. Echa un vistazo al capítulo 5 de: books.google.com.eg/…

Simón Fraser · Answer 1

Por definición, una función $f(x)$ es cóncava en $[a,b]$ si por cada $x,y\in[a,b]$ y para cualquier $\alpha\in[0,1]$ , $f((1-\alpha)x+\alpha y)\geq (1-\alpha)f(x)+\alpha f(y)$ . Esto simplemente significa que cualquier punto elegido entre $x$ y $y$ está en o por encima de la línea recta que conecta $(x,f(x))$ y $(y,f(y))$ . La primera derivada mide la pendiente instantánea en un punto. La segunda derivada es la derivada de la primera derivada y mide la concavidad y, por lo tanto, puede usarse para determinar los puntos de inflexión (que ocurren cuando la concavidad cambia de signo). Ver aquí y este sitio para más información.

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Lex_i

Ninguna posibilidad

Lex_i

Respuestas (1)

Simón Fraser

¿No hay manera de hacer esta función?

Encontrar max{f(x)} sin derivada

¿La función aquí es una función sobre para su dominio dado?

¿Por qué el método abreviado para verificar la diferenciabilidad no funciona aquí?

Raíces repetidas de una función

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f(x)f(x)f(x) y g(x)g(x)g(x) son polinomios cúbicos mónicos, con f(x)−g(x)=rf(x)−g(x) =rf(x)-g(x)=r. Si fff tiene raíces r+1r+1r+1 y r+7r+7r+7, y ggg tiene raíces r+3r+3r+3 y r+9r+9r+9, entonces encuentre rrr.