Encontrar max{f(x)} sin derivada

Usando AM-GM, tenemos

$$\begin{align*} \frac{\sqrt{x^3 + x}}{x^2 + x + 1} &= \frac{\sqrt{2}\sqrt x \sqrt{\frac{x^2 + 1}{2}}}{x^2 + x + 1}\\ &\le \frac{\sqrt{2}\cdot\frac12\left(x + \frac{x^2 + 1}{2}\right)}{x^2 + x + 1}\\ &= \frac{\sqrt 2 (x^2 + 2x + 1)}{4(x^2 + x + 1)}\\ &= \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{\sqrt 2 (x - 1)^2}{12(x^2 + x + 1)}\\ &\le \frac{\sqrt{2}}{3}. \end{align*}$$ Además, cuando$x = 1$, tenemos$\frac{\sqrt{x^3 + x}}{x^2 + x + 1} = \frac{\sqrt 2}{3}$.

Así, el máximo de$\frac{\sqrt{x^3 + x}}{x^2 + x + 1}$es$\frac{\sqrt 2}{3}$.

Tal vez una respuesta un poco tardía, pero pensé que valdría la pena mencionarlo.

Aquí hay un cálculo elemental directo del máximo.

Dejar$x\geq 0$:

Solo tenemos que encontrar el máximo de

$$\frac{x^3+x}{(x^2+x+1)^2} = \frac{x(x^2+1)}{(x^2+x+1)^2}$$

Los reordenamientos simples dan

$$\begin{eqnarray*} \frac{x(x^2+1)}{(x^2+x+1)^2} & = & \frac{x(x^2+x+1) -x^2}{(x^2+x+1)^2} \\ & = & \frac{x}{x^2+x+1} -\left(\frac{x}{x^2+x+1}\right)^2 \\ \end{eqnarray*}$$

Ahora, tenemos que maximizar$t-t^2$con

$$0\leq t= \frac{x}{x^2+x+1} \stackrel{AM-GM}{\leq} \frac 13$$

con igualdad en la RHS para$x=1$.

el máximo de$t-t^2$(una parábola hacia abajo con vértice en$t=\frac 12$) en$[0,\frac 13]$se alcanza para$t=\frac 13$.

Por eso,

$$\max_{x\geq 0}\frac{x^3+x}{(x^2+x+1)^2} = \frac 13 - \frac 19 = \frac 29 \Rightarrow \max_{x\geq 0}f(x) = \frac{\sqrt 2}{3}$$

Solo para agregar, si ya tiene una conjetura, entonces probarlo es bastante fácil. es decir, dado$x$y por lo tanto$f(x)$es no negativo, podemos cuadrar las cosas y factorizar el polinomio resultante (ya que en realidad ya conocemos una raíz;)

$$\frac{\sqrt{x^3+x}}{x^2+x+1} \leqslant \frac{\sqrt2}3 \iff (x-1)^2(2x^2-x+2)\geqslant 0$$

Esto último es obvio ya que el factor cuadrático siempre es positivo. Ahora todo lo que queda es mostrar que hay igualdad cuando$x=1$.

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Solo para completar, brindando otra forma con solo AM-GM: con$t^2=x+\frac1x$, podemos escribir la expresión como

$$f = \frac{\sqrt{x^3+x}}{x^2+x+1} =\frac{x\sqrt{x+\frac1x}}{x(x+\frac1x+1)} = \frac{t}{t^2+1} = \frac1{t+\frac1t}$$

Ahora,$t^2=x+\frac1x \geqslant 2$por AM-GM, con igualdad iff$x=1$. Por lo tanto, para maximizar$f$, tenemos que encontrar el mínimo de$t+\frac1t$, cuando$t\geqslant \sqrt2$. Sin embargo, en este dominio, podemos escribir usando AM-GM y la función obviamente creciente$-\frac1t$,

$$t+\frac1t=t + \frac{2}t-\frac1t \geqslant 2\sqrt2-\frac1t \geqslant 2\sqrt2-\frac1{\sqrt2} = \frac3{\sqrt2}$$ Como igualdad aquí es cuando$t=\sqrt2 \iff x=1$, tenemos un punto consistente de igualdad.

De este modo$f = \dfrac1{t+\frac1t} \leqslant \dfrac{\sqrt2}3$

Por desigualdad AM-GM tenemos que

$$\frac{\sqrt{x^3+x}}{x^2+x+1} \leq \frac{\sqrt{x^3+x}}{3x} = \frac{\sqrt{2}}{3}$$

ya que la igualdad AM-GM se alcanza cuando$x^2=x=1$