Spivak Pregunta 14, Capítulo 1, aclaración de una afirmación.

La parte (a) prueba | a | = | − a | La prueba real en el libro de trabajo de Spivak es bastante sencilla. Aceptemos esto como hecho.
La parte (b) prueba − b ≤ a ≤ b ⟺ | a | ≤ b . Hay muchas preguntas que prueban esto de muchas maneras en Stack Exchange, incluidas, por supuesto, preguntas sobre el enfoque de Spivak. Nuevamente, por el bien del argumento, aceptemos esto probado.

Ahora, Spivak dice

resulta que − | a | ≤ a ≤ | a |

Un interrogador pidió una explicación, y la respuesta más votada fue

dejar b = | a | y listo

¿Alguien podría explicar lo obvio aquí? Sí, de hecho, si sustituyes | a | para b proporciona la prueba solicitada, pero la noción de que uno puede simplemente reemplazar una variable con un valor absoluto es, creo, lo que preguntamos el interrogador anterior y yo. Y, casi inevitablemente, significa que hay algo que nosotros, o yo en este caso, nos falta en mi comprensión de los valores absolutos.
Si esta pregunta es un poco confusa, probablemente significa que me estoy perdiendo algo obvio, de ahí la pregunta.

Respuestas (2)

La confusión no está en qué son los valores absolutos, sino en qué son las variables.

La declaración

− b ≤ a ≤ b ⟺ | a | ≤ b
(con un implícito "para todos a , b ∈ R al principio) significa que si tenemos valores de a y b para los cuales uno de los dos lados vale, podemos deducir que el otro lado también vale para ellos. Por ejemplo, podríamos tomar a = − 3 y b = 5 , y verifique el lado derecho: | − 3 | ≤ 5 . Entonces podríamos concluir inmediatamente el lado izquierdo: que − 5 ≤ − 3 ≤ 5 .

Lo que también podemos hacer es, para cualquier valor de a , elige el valor b = | a | . No hay nada especial en el valor absoluto aquí: podríamos haber elegido b = a 2 , o b = mi registro ⁡ a , o cualquier otra expresión en a . pero recogiendo b = | a | es conveniente, porque entonces el lado derecho | a | ≤ b simplifica a | a | ≤ | a | , que sabemos vale para cualquier a .

Por lo tanto, el lado izquierdo, que se simplifica a − | a | ≤ a ≤ | a | , también debe cumplirse para todos a .

Muy lindo. Gracias. Tu explicación es lo que necesitaba, sobre todo la parte de la comodidad de elegir | a | y cómo encaja eso. Gracias de nuevo.
Misha... por favor permíteme ver si en verdad lo he entendido bien... Una vez probado (tu "declaración") podemos usarlo. Su punto agrega lo que me perdí, es decir, si vale para un lado, vale para el otro. Punto clave, para mí en cualquier caso. Entonces, ahora eligiendo b = | a | , y supongo que podemos usar el = aquí como usa la prueba original ≤ establece lo que sabemos, como usted señala, por lo tanto, podemos aplicarlo inmediatamente al lado izquierdo. Misha, has agregado esos "ganchos" a la declaración de Spivak, dándole mucha más profundidad. Gracias.
Sí, creo que lo tienes. Podría ser más fácil pensar en todo si usamos una variable diferente como X . "Configuración a = X y b = | X | , lo sabemos | a | ≤ b porque | X | ≤ | X | , por lo que concluimos − b ≤ a ≤ b o − | X | ≤ X ≤ | X | " no es diferente de "Configuración a = − 3 y b = 5 , lo sabemos | a | ≤ b porque | − 3 | ≤ 5 , por lo que concluimos − b ≤ a ≤ b o − 5 ≤ − 3 ≤ 5 ".
Entiendo. Gracias por tomarse el tiempo. :-)

(1) − b ≤ a ≤ b ⟺ | a | ≤ b

resulta que (2) − | a | ≤ a ≤ | a |

¿Alguien podría explicar lo obvio aquí? Sí, de hecho, si sustituyes | a | para b proporciona la prueba solicitada, pero la noción de que uno puede simplemente reemplazar una variable con un valor absoluto es, creo, lo que preguntamos el interrogador anterior y yo.

Declaración ( 1 ) lee:

para cada  ( a , b ) ∈ R 2 , − b ≤ a ≤ b ⟺ | a | ≤ b .
Por lo tanto,
para cada  ( a , b ) ∈ R 2 , | a | ≤ b ⟹ − b ≤ a ≤ b .
En particular:
para cada  ( a , | a | ) ∈ R 2 , | a | ≤ | a | ⟹ − | a | ≤ a ≤ | a | .
En otras palabras:
para cada  a ∈ R , | a | ≤ | a | ⟹ − | a | ≤ a ≤ | a | .
De este modo,
para cada  a ∈ R ,
desde | a | ≤ | a | es cierto, por Modus Ponens,
− | a | ≤ a ≤ | a | ,
según sea necesario.

(Darse cuenta de | a | es igual a cuando este último es positivo, e igual − a cuando este último es negativo; en otras palabras, | a | -como a , b , − a y − b —es sólo una variable en el universo del discurso R . )

Gracias por su respuesta. Ayuda tener una buena visión general proporcionada por usted.
Vaya... tu comentario desapareció, ¡pero sigue siendo relevante! Ryan, sí, sin duda. Y mirar estas pruebas con gran detalle realmente me ayuda, en todo caso. ¡Además, pasarlos por alto no los hace más claros más adelante! Esp con Spivak, quien rutinariamente desentierra lo que se hizo anteriormente. El verdadero placer de leer las respuestas de los verdaderos matemáticos es comprender su forma de pensar. Es un gran regalo, gracias.
@ user1115542 Todo lo que dije fue algo como "realmente reducir la velocidad, volver a lo básico, preguntar y decir lo "obvio" a veces ayuda con los puntos ciegos conocidos". (Y acabo de ampliar la respuesta anterior). Sí, ¡MSE es realmente una joya para los estudiantes de matemáticas!
Una vez más, gracias. Puedo pedir un par de puntos de aclaración. Solo para confirmar, R 2 , un par de reales? Y, ¿podría explicar por qué usamos − b ≤ a ≤ b ⟺ | a | ≤ b , pero usamos | a | ≤ b ⟹ − b ≤ a ≤ b . Creo que entiendo el resto de lo que dices y me gusta, pero sospecho que entiendo las diferencias en la implicación de ⟺ y ⟹ es importante aquí.
De nada, @user1115542. 1. "Por cada ( a , b ) ∈ R 2 "es solo una forma elegante de decir" ∀ a ∈ R ∀ b ∈ R ". 2. Extraje la porción de derecha a izquierda (la dirección inversa) de la biimplicación porque para obtener el resultado final requerido (usando Modus Ponens), solo necesitamos esa porción.
gracias ryan Estoy recibiendo un curso acelerado de notación matemática. :-) (Incluido, ∀ , que no necesita explicación :-) ). Ok lo tengo. Entre tú y Misha, sin duda me has ayudado, y sin duda a otros que han tropezado en el mismo punto, también intentando ser metódico con todos los problemas de Spivak.
Spivak Pregunta 14, Capítulo 1, aclaración de una afirmación.
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