¿Por qué la torsión no puede hacer un túnel hacia el vacío, haciéndolo topológicamente estable?

Question

¿Por qué la torsión no puede hacer un túnel hacia el vacío, haciéndolo topológicamente estable?

Qft_Phys

¿Por qué puede la torcedura

ϕ (X) = v bronceado (\frac{X}{ξ})

$\phi(x)=v\tanh\left(\frac{x}{\xi}\right)$ no hacer un túnel en el vacío

+ v

$+v$ o

- v

$-v$ (con ruptura de simetría espontánea en el vacío)?

De la condición de contorno, $\phi(x)\rightarrow \pm v$ como $x\rightarrow\pm\infty$ , es evidente. Sin embargo, el libro dice:

Debido a la barrera infinita de alta energía, la torcedura no puede hacer un túnel en el vacío.

¿Dónde está la barrera infinita de alta energía? La densidad de energía es

mi (X) = \frac{gramo v^{4}}{2} {s mi C h}^{4} (\frac{X}{ξ}),

$E(x)=\frac{gv^4}{2}{\rm sech}^4\left(\frac{x}{\xi}\right),$ cuya integración en todo el espacio es finita.

¿Dónde está la barrera infinita de alta energía?

una mente curiosa

Falta información aquí: ¿Qué teoría está considerando, es decir, cuál es el Lagrangiano, cuál es el

ξ

$\xi$ en la torcedura, y cómo es

v

$v$ ¿determinado?

qmecanico

¿Qué libro dice?

Respuestas (2)

¿Por qué la torsión no puede hacer un túnel hacia el vacío, haciéndolo topológicamente estable?

Falta información aquí: ¿Qué teoría está considerando, es decir, cuál es el Lagrangiano, cuál es el $\xi$ en la torcedura, y cómo es $v$ ¿determinado?

qmecanico · Answer 1

Aquí asumimos que la pregunta de OP se refiere a $\phi^4$ -teoría en 1+1D, donde la densidad lagrangiana se lee

\begin{matrix} (1) & L = \frac{1}{2} {\dot{ϕ}}^{2} - tu, tu := \frac{1}{2} ϕ^{' 2} + V, ϕ \in C^{1} (R^{2}), \end{matrix}

$\tag{1} {\cal L}~=~\frac{1}{2}\dot\phi^2 -{\cal U}, \qquad {\cal U}~:=~ \frac{1}{2} \phi^{\prime 2} + {\cal V},\qquad \phi \in C^1(\mathbb{R}^2),$

donde el $\phi^4$ -densidad potencial

\begin{matrix} (2) & V (ϕ) \propto (ϕ^{2} - v^{2})^{2} \geq 0 \end{matrix}

$\tag{2} {\cal V}(\phi)~\propto~(\phi^2-v^2)^2~ \geq~ 0$

tiene dos puntos mínimos en $\phi=\pm v$ , es decir, un pozo doble. En la ec. (1) el punto (principal) significa diferenciación wrt. $t$ ( $x$ ), respectivamente.

Reformulamos la pregunta de OP de la siguiente manera:

Demostrar que no existen homotopías de energía finita $\phi:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ entre los siguientes 4 sectores topológicos: la torcedura, la antitorsión y las dos soluciones de vacío $\phi=\pm v$ .

Aquí la torcedura tiene límites

\begin{matrix} (3) & \underset{X \to \pm \infty}{límite} ϕ (X) = \pm v, \end{matrix}

$\tag{3} \lim_{x\to \pm \infty}\phi(x)~=~\pm v,$ y el antikink tiene limites

\begin{matrix} (4) & \underset{X \to \pm \infty}{límite} ϕ (X) = \mp v . \end{matrix}

$\tag{4} \lim_{x\to \pm \infty}\phi(x)~=~\mp v.$

Prueba indirecta esbozada: suponga que una homotopía $\phi$ existe Para ser concreto, digamos, entre la torcedura y la solución de vacío izquierda $\phi=-v$ . Entonces la homotopía $\phi$ tiene que cambiar valle por positivo $x$ . Dado que esto es Phys.SE en lugar de Math.SE, por simplicidad vamos a suponer que para instantes arbitrarios $t\in\mathbb{R}$ , Los limites

\begin{matrix} (5) & F_{+} (t) := \underset{X \to \infty}{límite} ϕ (X, t) y F_{-} (t) := \underset{X \to - \infty}{límite} ϕ (X, t), \end{matrix}

$\tag{5} f_+(t)~:=~\lim_{x\to \infty}\phi(x,t) \quad\text{and}\quad f_-(t)~:=~\lim_{x\to -\infty}\phi(x,t) ,$

existir. Entonces para tener energía potencial finita

\begin{matrix} (6) & V (t) := \int_{R} d X V (ϕ (X, t)) < \infty, \end{matrix}

$\tag{6} V(t)~:=~ \int_{\mathbb{R}}\! dx~{\cal V}(\phi(x,t))~<~\infty,$

se sigue que las dos funciones $f_{\pm}(t)$ sólo puede tomar los valores $\pm v$ . intuitivamente $\phi$ entonces está confinado topológicamente a los dos valles potenciales para $x$ . De ello se deduce que existe una constante suficientemente grande $K$ tal que $\forall x\geq K$ la función $t \mapsto \phi(x,t)$ no puede ser continua en $t$ . Contradicción.

Referencias:

S. Coleman, Aspectos de la simetría, 1985; Sección 6.3.1.
R. Rajaraman, Solitons and Instantons: Introducción a los solitones e instantones en la teoría cuántica de campos, 1987; Secciones 2.3-2.4.

Slereah · Answer 2

La densidad de energía del estado. $\pm v$ va a ser algo como $\propto μ^4$ , si está utilizando el básico $\varphi^4$ teoría. Mientras que la energía de la pared del dominio es finita, la energía del estado de vacío no lo es, por lo que la transición al estado de vacío en todo el espacio será infinita.

Muchas gracias por las excelentes respuestas, disculpe la demora en la respuesta, acabo de recuperarme de una enfermedad grave.

¿Por qué la torsión no puede hacer un túnel hacia el vacío, haciéndolo topológicamente estable?

Qft_Phys

una mente curiosa

qmecanico

Respuestas (2)

qmecanico

Slereah

Qft_Phys

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