Encontrar la energía de una solución a la ecuación de Seno-Gordon

Estoy profundizando en la teoría del campo cuántico y estoy atascado tratando de averiguar cómo calcular la energía de una solución de solitón para la ecuación Sine-Gordon en el espacio-tiempo 1-1.

Comienzo con la densidad lagrangiana:

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_{t}\phi)^{2}-\frac{1}{2}(\partial_{x}\phi)^{2}-\frac{a}{b}[1-\cos(b\phi)]$$

Dónde$a,b$son constantes arbitrarias. Usando esto y las ecuaciones de Euler-Lagrange, podemos ver que la ecuación de movimiento es:

$$\partial_{tt}\phi-\partial_{xx}\phi+a\sin(b\phi)=0$$

Para lo cual una solución estacionaria apropiada es:

$$\phi(x) = \frac{4}{b}\arctan\left(\exp\left((ab)^{1/2}x\right)\right)$$

Sin embargo, quiero calcular la energía de esta solución.

Pensé que puedo calcular el hamiltoniano y luego usar la relación$\hat{H}\left|\phi\right\rangle = E\left|\phi\right\rangle$para calcular la energía de la solución (que según me informan es de la forma$E = ca^{1/2}$).

El hamiltoniano que puedo obtener de la densidad hamiltoniana:

$$\hat{\mathcal{H}}(\phi)=\Pi^{0}\partial_{0}\phi-\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_{t}\phi)^{2} + \frac{1}{2}(\partial_{x}\phi)^{2} + \frac{a}{b}[1-\cos(b\phi)]$$

Por lo tanto:

$$\hat{H}\phi(x) = \int \hat{\mathcal{H}} \:\mathrm{d}x$$

Sin embargo, desde aquí estoy atascado!