¿Podría este modelo tener soluciones de solitón?

La respuesta a esta pregunta es no asumir dimensiones superiores a 1+1. Esto se puede ver observando que la ecuación de movimiento para el campo fermiónico es solo el límite de masa que va al infinito de un campo escalar acoplado a un campo fermiónico. Esto se puede ver de la siguiente manera. Considere el Lagrangiano

$$L = \frac{1}{2}(\partial\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2+\bar\psi(i\gamma\cdot\partial-g\phi)\psi.$$ Las ecuaciones de movimiento se obtienen fácilmente para ser $$\partial^2\phi+m^2\phi=g\bar\psi\psi\qquad (i\gamma\cdot\partial-g\phi)\psi=0.$$ La ecuación del campo escalar se puede integrar inmediatamente para dar $$\phi=g\int d^Dx\Delta(x-y)\bar\psi(y)\psi(y)$$ con el propagador el de una partícula libre. Este propagador, en el límite de una masa muy grande del campo escalar, es justamente proporcional a $\delta^D(x-y)$. Esta observación es crucial para lo siguiente. Entonces, nos quedamos con la ecuación. $$(i\gamma\cdot\partial-\kappa\bar\psi\psi)\psi=0$$ dónde $\kappa$es una constante que depende de los parámetros $m$y $g$del Lagrangiano del que partimos. De esta forma hemos recuperado la ecuación propuesta por el OP pero acabamos de demostrar que este es el límite de masa grande de un campo escalar acoplado a un campo fermionario.

Ahora, hacemos la teoría cuántica de campos en el Lagrangiano inicial y escribimos la función de partición como

$$Z[j,\bar\eta,\eta]=\int[d\phi][d\bar\psi][d\psi]e^{i\int d^Dx\left[\frac{1}{2}(\partial\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2+\bar\psi(i\gamma\cdot\partial-g\phi)\psi\right]} e^{i\int d^Dx\left[j\phi+\bar\eta\psi-\bar\psi\eta\right]}.$$ La parte del fermión se puede integrar inmediatamente generando un potencial al campo escalar en la forma $$V(\phi)=-i{\rm tr}\ {\rm ln}\left[i\gamma\cdot\partial-g\phi\right]_{(x,x)}.$$ Esto se puede evaluar mediante una expansión de bucle como $$V(\phi)=-g_1\phi^3-g_2\phi^4+\ldots.$$ Ahora, independientemente del valor de la masa del campo escalar y de la presencia de un vev finito, usando el teorema de Derrick sabemos que las soluciones estacionarias localizadas a una ecuación de onda no lineal o ecuación de Klein-Gordon no lineal en dimensiones tres y mayores son inestables. Esto concluye la prueba de que la ecuación modelo producida por el OP no tiene soluciones de solitón en dimensiones tres y superiores. En las dimensiones 1+1 estos pueden existir.