Lagrangiana covariante de orden superior

Estoy en busca de ejemplos de Lagrangian, que sean al menos de segundo orden en las derivadas y sean covariantes, preferibles para teorías de campos. Hasta ahora solo pude encontrar los de primer orden (como en Klein-Gordon-Lagrangian) o no covariantes (por ejemplo, KdV). También son bienvenidos algunos indicadores de la literatura sobre las propiedades generales de tales sistemas. Gracias

Klein-Gordon se puede reescribir como ( ∂ ϕ ) 2 = − ϕ ◻ ϕ + términos límite! Y probablemente puedas escribir muchos de estos lagrangianos tú mismo. Por ejemplo, puedes golpear campos con poderes del Laplaciano, que es covariante. Nada te impide escribir ◻ X F m v ( X ) ◻ y F m v ( y ) .
@Vibert: Por supuesto, puedo construir un Lagrangiano por mi cuenta. Pero estoy interesado en los útiles, por ejemplo, que describen sistemas físicos reales. Por ejemplo, la relatividad general es un ejemplo, pero busco uno más fácil.
No creo que haya muchos más fáciles. Al agregar derivados, está elevando la 'dimensión' del operador en su Lagrangiano y pierde la renormalizabilidad. Esto se usa mucho en la 'teoría de campo efectivo' (con aplicaciones en física de sabores, física de higgs/EWSB, etc.) pero no en modelos normales de libros de texto.
Hay un teorema de no-go ("teorema de Ostragradski") que dice que las acciones de orden superior conducen a energías ilimitadas y sistemas inestables, consulte la sección 2 de arXiv:astrop-ph/0601672 para obtener más detalles sobre el teorema de Ostragradski...

Respuestas (2)

I) Como menciona el usuario Vibert en un comentario, las ecuaciones de Euler-Lagrange no se modifican 1 sumando términos de divergencia total a la densidad lagrangiana

(1) L   ⟶   L + d m F m .

Agregar términos de divergencia total conduce a una fuente inagotable de lagrangianos de orden superior.

II) Genéricamente, sin algún mecanismo de cancelación [como, por ejemplo, que parte de la densidad lagrangiana es (secretamente) una divergencia total] un norte -la acción de orden llevaría a 2 norte Ecuaciones de Euler-Lagrange de orden.

III) Ejemplo. La densidad lagrangiana de Einstein-Hilbert (EH)

(2) L mi H   ∼   − gramo { gramo m v R m v ( Γ L C , ∂ Γ L C ) − 2 Λ }

depende de las derivadas temporales y espaciales de segundo orden de la métrica gramo m v . Este es, por supuesto, un ejemplo importante. Aquí Γ L C se refieren a los símbolos Levi-Civita (LC) Christoffel , que a su vez son derivados de primer orden de la métrica gramo m v . Sin embargo, es posible agregar un término de divergencia total para representar la densidad lagrangiana de primer orden, como lo menciona el usuario drake en un comentario. Así, las ecuaciones de Euler-Lagrange para la acción de Einstein-Hilbert S mi H [ gramo m v ] , es decir, las ecuaciones de campo de Einstein (EFE), no son de cuarto orden, como cabría esperar ingenuamente, sino de segundo orden.

IV) Los lagrangianos de orden superior también se analizan en muchas publicaciones de Phys.SE, consulte, por ejemplo, aquí y aquí .

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1 Tenga en cuenta que agregar términos de divergencia total (1) puede afectar las elecciones consistentes de las condiciones de contorno para la teoría.

No hay cancelación de orden superior. La acción de Einstein-Hilbert depende de derivadas temporales de segundo orden a través de un término de frontera, es decir, existe una acción que difiere de la de Einstein-Hilbert por un término de frontera y que da las ecuaciones de Einstein. Es muy parecido al Lagrangiano de Klein-Gordon y L = ϕ ( ∂ 2 − metro 2 ) ϕ . Entonces, con respecto a la pregunta, la acción de Einstein-Hilbert es de alguna manera marginal.

Puede mirar el Lagrangiano para las partículas de galileón, por ejemplo, en este documento . Tiene la propiedad de que las ecuaciones de movimiento siguen siendo de 2º orden en las derivadas y covariantes.

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