¿Por qué puedes hacer que VVV sea estacionario con respecto a un parámetro del campo en el teorema de Derrick?

OK, tal vez la notación en Ref. 1 es un poco confuso. Profundicemos en el teorema No-Go de Derrick :

Teorema de No-Go de Derrick: para el número de dimensiones espaciales$D>2$, las únicas soluciones de energía finita independientes del tiempo son los estados fundamentales.

En pocas palabras, la idea de la prueba es derivar una condición necesaria mediante un simple argumento de escala de 1 parámetro. (Al contrario de lo que uno podría esperar ingenuamente, no es particularmente útil establecer ecuaciones de Euler-Lagrange (EL) a través de la diferenciación funcional porque no sabemos mucho sobre el potencial$U$.)

Dado que estamos considerando configuraciones de campo independientes del tiempo , debemos encontrar estacionarias$^1$configuraciones de campo para la energía potencial total

$$V[\phi]~=~V_1[\phi]+ V_2[\phi], \tag{1}$$

dónde

$$V_1[\phi] ~:=~\frac{1}{2} \int \!\mathrm{d}^Dx~ (\nabla \phi)^2 ~\geq~ 0, \qquad V_2[\phi]~:=~ \int \!\mathrm{d}^Dx~ U(\phi)~\geq~ 0, \qquad U(\phi) ~\geq~ 0. \tag{2}$$

Ahora queremos comprobar si alguna configuración de campo${\bf x} \mapsto \phi_1({\bf x})$es estacionario Definir una familia de 1 parámetro de configuraciones de campo

$$\phi_{\lambda}({\bf x})~:=~\phi_1(\lambda{\bf x}), \qquad \lambda ~\in~ [0,\infty[.\tag{3}$$

Tenga en cuenta que$\phi_{\lambda=1}=\phi_1$, por lo que la notación (3) es consistente. Entonces calculamos (por cambio de variables en las integrales) que

$$V[\phi_{\lambda}]~=~\lambda^{2-D}V_1[\phi_1]+\lambda^{-D}V_2[\phi_1].\tag{4}$$

Una condición necesaria (¡pero lejos de ser suficiente!) para$\phi_1$ser estacionario es diferenciar la función$\lambda \mapsto V[\phi_{\lambda}]$wrt. El parámetro$\lambda$en el punto$\lambda=1$,

$$0~\stackrel{?}{=}~ \left. \frac{d V[\phi_{\lambda}]}{d\lambda}\right|_{\lambda=1}~=~ (2-D) V_1[\phi_1] - D V_2[\phi_1]. \tag{5}$$

La variación a lo largo de la familia de 1 parámetro constituye solo una de las infinitas posibilidades para variar la configuración del campo.$\phi_1$, ¡pero es el único que necesitaremos!

A continuación suponemos$^2$eso$D>2$. Entonces la ec. (5) sólo es posible si

$$V_1[\phi_1]~=~0~=~V_2[\phi_1].\tag{6}$$

ecuación (6a) implica que

$$\nabla \phi_1 \equiv 0,\tag{7}$$

o equivalentemente que

$$\phi_1 \text{ is ${\bf x}$-independent}.\tag{8}$$

ecuación (6b) y (8) implican entonces que

$$\phi_1 \text{ is a ground state}.\tag{9}$$

Referencias:

1. S. Coleman, Aspectos de la simetría, 1985; pag. 194.

2. R. Rajaraman, Solitons and Instantons: Introducción a los solitones e instantones en la teoría cuántica de campos, 1987; Sección 3.2 y 3.3.

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$^1$ Estacionarios en el sentido de que satisfacen las ecuaciones EL para$V$, es decir, la derivada funcional se anula,

$$0~\approx~\frac{\delta V[\phi]}{\delta \phi}~=~ -\nabla^2\phi + \frac{\partial U(\phi)}{\partial \phi}.\tag{10}$$

[Aquí el$\approx$símbolo significa igualdad módulo EL ecuaciones.]

$^2$ El caso$D=2$. Contrariamente a lo que dice la Ref. 1, el teorema No-Go de Derrick no se cumple para$D=2$. Consideremos aquí sólo el$D=2$caso. Afirmamos que ya no se puede concluir que$V_1[\phi_1]$debe ser cero. Árbitro. 1 da la siguiente prueba incorrecta (usando nuestra notación):

Para$D = 2$, sin embargo, la ecuación. (5) sólo implica la desaparición de$V_2[\phi_1]$, y se requiere una pequeña cantidad de argumento adicional. Si$V_2[\phi_1]$desaparece es estacionario, ya que cero es su valor mínimo. Por lo tanto, podemos aplicar el principio de Hamilton a$V_1[\phi_1]$solo, de lo que se sigue trivialmente que$V_1[\phi]$también se desvanece. QED

El término de energía potencial$V_2[\phi_1]=0$todavía debe ser cero, cf. ec. (5). En otras palabras, el$\phi_1$-imagen

$${\rm Im}(\phi_1) ~\subseteq ~U^{-1}(\{0\}) \tag{11}$$

debe estar en el lugar cero$U^{-1}(\{0\})$(o preimagen de$\{0\}$) del potencial$U$, es decir, el conjunto de puntos mínimos para el potencial$U$en el espacio objetivo.

Multiplicador de Lagrange. Aparte, si una restricción$\chi(\phi)\approx 0$emula el lugar geométrico cero$U^{-1}(\{0\})=\chi^{-1}(\{0\})$, uno puede reemplazar efectivamente el funcional (1) con

$$\tilde{V}[\phi,\Lambda]~=~V_1[\phi]+ \int \!\mathrm{d}^Dx~\Lambda~ \chi(\phi) , \tag{12}$$

dónde$\Lambda=\Lambda({\bf x})$es un multiplicador de Lagrange. Las ecuaciones EL leen

$$0~\approx~\frac{\delta\tilde{V}[\phi,\Lambda]}{\delta \phi}~=~ -\nabla^2\phi + \Lambda ~\frac{\partial \chi(\phi)}{\partial \phi}.\tag{13}$$

Es imposible saber con certeza cómo la Ref. 1 llegó a la conclusión equivocada$V_1[\phi_1]=0$, pero podría deberse en parte al olvido de tener en cuenta correctamente la fuerza de restricción, es decir, el último término en la ec. (13).

Compactación en un punto del espacio. En coordenadas polares, el término$V_1[\phi_1]$lee

$$0~\leq~V_1[\phi_1]~=~\int_0^{2\pi} \! \mathrm{d}\theta \int_0^{\infty} \! \mathrm{d}r~\left(r \left(\frac{\partial \phi_1}{\partial r}\right)^2+ \frac{1}{r} \left(\frac{\partial \phi_1}{\partial \theta}\right)^2 \right)~<~\infty.\tag{14}$$

Para cada$\theta\in[0,2\pi[$, en condiciones de regularidad suave, podemos suponer que el límite

$$\lim_{r\to \infty}\frac{\partial \phi_1}{\partial \theta}\tag{15}$$

existe Para mantener finita la energía (14), el límite (15) debe ser cero. En otras palabras,

$$\phi_1(r\!=\!\infty,\theta) \text{ does not depend on } \theta.\tag{16}$$

Entonces podemos efectivamente compactar el espacio en un punto$\mathbb{R}^2\cup \{\infty\}\cong S^2$en una esfera de 2$S^2$.

Contraejemplo. Un contraejemplo con finito$V_1[\phi_1]>0$es un llamado bebé skyrmion en un$2D$ $O(3)$modelo con potencial de sombrero mexicano. El espacio objetivo está aquí.$\mathbb{R}^3$, y el lugar geométrico cero

$$U^{-1}(\{0\})~=~\{\phi \in \mathbb{R}^3 |~ |\phi| =1\}~\cong~S^2\tag{17}$$

por el potencial$U$forma 2 esferas. Porque$\pi_2(S^2)\cong \mathbb{Z}$, la configuración del campo$\phi_1:S^2\to S^2$está protegido por una carga topológica

$$V_1[\phi_1]~\geq~ 4\pi |Q|.\tag{18}$$

Si$Q\neq 0$, concluimos que$\phi_1$no es un estado fundamental. Véase, por ejemplo, Ref. 2 para más detalles.