Evolución temporal de un operador de densidad

Question

Evolución temporal de un operador de densidad

Física
evolución del tiempo
operador de densidad
mecánica cuántica
ecuación de Schroedinger

james flash

$\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}\newcommand{\bra}[1]{\langle#1|}$ Existe una expresión conocida para la evolución del operador de densidad en el tiempo:

ρ (t) = tu (t, t_{0}) ρ (t_{0}) {tu}^{†} (t, t_{0})

$\rho(t) = U(t,t_0)\rho(t_0)U^{\dagger}(t,t_0)$ denotemos

ρ (t)

$\rho(t)$ como

| f ⟩ ⟨ f |

$\ket{f} \bra{f}$ y

ρ (t_{0})

$\rho(t_0)$ como

| i ⟩ ⟨ i |

$\ket{i} \bra{i}$ , por lo tanto, simplemente describimos la evolución de bra y ket por nuestra expresión.

| i ⟩

$\ket{i}$ es algún estado en la base

{| n ⟩}

$\{\ket{n}\}$ Pero, ¿qué sentido tiene si aplicamos este tren de operadores en consecuencia a algunos

| ψ ⟩

$\ket{\psi}$ ? Como

U^{†} (t, t_{0})

$U^{\dagger}(t,t_0)$ es un operador invertido en el tiempo que debemos tomar

| ψ (t) ⟩

$\ket{\psi(t)}$ en

t

$t$ . Parece un operador de proyector con

| ψ (t_{0}) ⟩

$\ket{\psi(t_0)}$ y estado final

| f ⟩

$\ket{f}$ . Se puede escribir como

ρ (t) | ψ (t) ⟩ = | F ⟩ ⟨ ψ (t_{0}) |

$\rho(t)\ket{\psi(t)} = \ket{f} \bra{\psi(t_0)}$ dónde

| f ⟩

$\ket{f}$ es un estado en este momento

t

$t$ . ¿Tiene sentido para funciones en diferentes momentos de tiempo?

Emilio Pisanty

La ecuacion

ρ (t) | ψ (t) ⟩ = | f ⟩ ⟨ ψ (t_{0}) |

$\rho(t)|\psi(t)\rangle = |f\rangle \langle\psi(t_0)|$ es imposible: tiene un estado en el lado izquierdo y un proyector en el derecho. Tal como está escrita actualmente, la pregunta se lee principalmente como una ensalada de símbolos y no es realmente posible analizarla. Deberías explicar con más detalle lo que quieres decir.

james flash

Quiero entender la interpretación de la secuencia de transformaciones al aplicar los operadores de derecha a izquierda a algún estado ket

Tobias Funke

Pero como ha señalado @Emilio Pisanty, su última pregunta no tiene ningún sentido. En su notación, debería haber algo como

ρ | ψ ⟩ = | f ⟩ ⟨ i | U^{†} | ψ ⟩

$\rho |\psi\rangle = |f\rangle \langle i|U^\dagger |\psi\rangle$ si definiste

ρ \equiv | f ⟩ ⟨ f |

$\rho \equiv |f\rangle \langle f|$ con

| f ⟩ \equiv U | i ⟩

$|f\rangle \equiv U |i\rangle$ , ¿No?

james flash

si, me defino

| f ⟩

$|f \rangle$ como esto. tu expresión para

ρ | ψ ⟩

$\rho | \psi \rangle$ es lo que quiero decir. Pero todavía no me queda claro por qué

| f ⟩

$|f \rangle$ se define en el momento

t

$t$ y

⟨ i | U^{†} | ψ ⟩

$\langle i | U^{\dagger} | \psi \rangle$ en

t_{0}

$t_0$ . ¿Cómo puede ser consistente?

james flash

Quería cambiar la perspectiva sobre la evolución de los estados, es decir, si consideramos

U^{†} | ψ ⟩

$U^{\dagger} | \psi \rangle$ estado. ¿Está definido en

t_{0}

$t_0$ ? si es y

⟨ i |

$\langle i |$ corresponde a

t_{0}

$t_0$ también. Entonces tenemos un valor definido en

t_{0}

$t_0$ , que multiplicamos por

| f ⟩

$| f \rangle$ en

t

$t$

Respuestas (1)

Evolución temporal de un operador de densidad

La ecuacion $\rho(t)|\psi(t)\rangle = |f\rangle \langle\psi(t_0)|$ es imposible: tiene un estado en el lado izquierdo y un proyector en el derecho. Tal como está escrita actualmente, la pregunta se lee principalmente como una ensalada de símbolos y no es realmente posible analizarla. Deberías explicar con más detalle lo que quieres decir.
Quiero entender la interpretación de la secuencia de transformaciones al aplicar los operadores de derecha a izquierda a algún estado ket
Pero como ha señalado @Emilio Pisanty, su última pregunta no tiene ningún sentido. En su notación, debería haber algo como $\rho |\psi\rangle = |f\rangle \langle i|U^\dagger |\psi\rangle$ si definiste $\rho \equiv |f\rangle \langle f|$ con $|f\rangle \equiv U |i\rangle$ , ¿No?
si, me defino $|f \rangle$ como esto. tu expresión para $\rho | \psi \rangle$ es lo que quiero decir. Pero todavía no me queda claro por qué $|f \rangle$ se define en el momento $t$ y $\langle i | U^{\dagger} | \psi \rangle$ en $t_0$ . ¿Cómo puede ser consistente?
Quería cambiar la perspectiva sobre la evolución de los estados, es decir, si consideramos $U^{\dagger} | \psi \rangle$ estado. ¿Está definido en $t_0$ ? si es y $\langle i |$ corresponde a $t_0$ también. Entonces tenemos un valor definido en $t_0$ , que multiplicamos por $| f \rangle$ en $t$

hans wurst · Answer 1

¿Te confundiste al intentar lo siguiente?

\begin{aligned} \hat{ρ} (t) | ψ_{t} ⟩ & = \hat{tu} (t, t_{0}) | ψ_{t_{0}} ⟩ ⟨ ψ_{t_{0}} | {\hat{tu}}^{†} (t, t_{0}) | ψ_{t} ⟩ \\ \hat{ρ} (t) | ψ_{t} ⟩ & = \hat{tu} (t, t_{0}) | ψ_{t_{0}} ⟩ ⟨ ψ_{t_{0}} | {\hat{tu}}^{†} (t, t_{0}) \hat{tu} (t, t_{0}) | ψ_{t_{0}} ⟩ \\ \hat{ρ} (t) | ψ_{t} ⟩ & = \hat{tu} (t, t_{0}) | ψ_{t_{0}} ⟩ ⟨ ψ_{t_{0}} | \hat{1} | ψ_{t_{0}} ⟩ \\ \hat{ρ} (t) | ψ_{t} ⟩ & = \hat{tu} (t, t_{0}) | ψ_{t_{0}} ⟩ ⟨ ψ_{t_{0}} | ψ_{t_{0}} ⟩ \\ \hat{ρ} (t) | ψ_{t} ⟩ & = \hat{tu} (t, t_{0}) | ψ_{t_{0}} ⟩ 1 \\ \hat{ρ} (t) | ψ_{t} ⟩ & = | ψ_{t} ⟩ \end{aligned}

$\begin{aligned} \hat \rho(t)|\psi_t\rangle &= \hat U(t,t_0)|\psi_{t_0}\rangle \langle \psi_{t_0}|\hat U^\dagger (t,t_0)|\psi_t\rangle \\ \hat \rho(t)|\psi_t\rangle &= \hat U(t,t_0)|\psi_{t_0}\rangle \langle \psi_{t_0}|\hat U^\dagger (t,t_0)\hat U(t,t_0)|\psi_{t_0}\rangle \\ \hat \rho(t)|\psi_t\rangle &= \hat U(t,t_0)|\psi_{t_0}\rangle \langle \psi_{t_0}|\hat 1|\psi_{t_0}\rangle \\ \hat \rho(t)|\psi_t\rangle &= \hat U(t,t_0)|\psi_{t_0}\rangle \langle \psi_{t_0}|\psi_{t_0}\rangle \\ \hat \rho(t)|\psi_t\rangle &= \hat U(t,t_0)|\psi_{t_0}\rangle 1 \\ \hat \rho(t)|\psi_t\rangle &= |\psi_{t}\rangle \\ \end{aligned}$ con

| ψ_{t} ⟩ = \hat{U} (t, t_{0}) | ψ_{t_{0}} ⟩

$|\psi_t\rangle =\hat U(t,t_0)|\psi_{t_0}\rangle$ y

{\hat{U}}^{†} (t, t_{0}) \hat{U} (t, t_{0}) = \hat{1}

$\hat U^\dagger(t,t_0)\hat U(t,t_0)= \hat 1$ y

⟨ ψ_{t} | ψ_{t} ⟩ = 1 = ⟨ ψ_{t_{0}} | ψ_{t_{0}} ⟩

$\langle \psi_t|\psi_t\rangle =1 =\langle \psi_{t_0}|\psi_{t_0}\rangle$

Lo mismo se logra simplemente haciendo,

\begin{aligned} \hat{ρ} (t) | ψ_{t} ⟩ & = \hat{tu} (t, t_{0}) | ψ_{t_{0}} ⟩ ⟨ ψ_{t_{0}} | {tu}^{†} (t, t_{0}) | ψ_{t} ⟩ \\ = | ψ_{t} ⟩ ⟨ ψ_{t} | ψ_{t} ⟩ \\ = | ψ_{t} ⟩ \end{aligned}

$\begin{aligned} \hat \rho(t)|\psi_t\rangle &= \hat U(t,t_0)|\psi_{t_0}\rangle \langle \psi_{t_0}|U^\dagger (t,t_0)\ |\psi_t\rangle \\ &= |\psi_{t}\rangle \langle \psi_{t}| \ \psi_t\rangle \\ &= |\psi_{t}\rangle \\ \end{aligned}$

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Tobias Funke

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Respuestas (1)

hans wurst

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