¿Existe la noción de un hamiltoniano "reducido"?

Question

¿Existe la noción de un hamiltoniano "reducido"?

AmistosoLagrangiano

Similar a cómo podemos construir una matriz de densidad $\rho_A$ que representa estados en un subsistema $A$ realizando un rastreo parcial en $\rho$ (la matriz de densidad completa de todo el subsistema (digamos $AB$ )), ¿hay una operación similar que podamos hacer en el hamiltoniano? $H$ ?

Considerar

i \frac{d}{d t} ρ_{B} = i \frac{d}{d t} {Tr}_{A} (ρ) = {Tr}_{A} ([H, ρ]),

$i\frac{d}{dt} \rho_B = i\frac{d}{dt} \text{Tr}_A (\rho) = \text{Tr}_A ([H,\rho]),$ donde el último paso es cierto por linealidad. Si por simplicidad estamos en un sistema bipartito tal que

H = H_{A} \otimes H_{B}

$H=H_A \otimes H_B$ entonces podemos masajear más por encima de la expresión

\begin{aligned} i \frac{d}{d t} ρ_{B} & = {Tr}_{A} ([H, ρ]) \\ = \sum_{i} (⟨ ϕ_{i} |_{A} \otimes 1_{B}) [H_{A} \otimes H_{B}, ρ] (| ϕ_{i} ⟩_{A} \otimes 1_{B}) \\ = \sum_{i} {mi}_{i}^{A} \underset{abuso de notación}{\underset{⏟}{(1_{A} \otimes H_{B})}} (⟨ ϕ_{i} |_{A} \otimes 1_{B}) ρ (| ϕ_{i} ⟩_{A} \otimes 1_{B}) \\ - {mi}_{i}^{A} (⟨ ϕ_{i} |_{A} \otimes 1_{B}) ρ (| ϕ_{i} ⟩_{A} \otimes 1_{B}) \underset{abuso de notación}{\underset{⏟}{(1_{A} \otimes H_{B})}} \\ = [H_{B}, \sum_{i} {mi}_{i}^{A} (⟨ ϕ_{i} |_{A} \otimes 1_{B}) ρ (| ϕ_{i} ⟩_{A} \otimes 1_{B})] \\ = [H_{B}, ρ_{B}], \end{aligned}

$\begin{align} i\frac{d}{dt} \rho_B & =\text{Tr}_A ([H,\rho]) \\ & = \sum_i (\langle \phi_i|_A\otimes 1_B)[H_A \otimes H_B,\rho](| \phi_i \rangle _A\otimes 1_B) \\ & =\sum_i E_i^A\underbrace{( 1_A \otimes H_B)}_\text{abuse of notation}(\langle \phi_i|_A\otimes 1_B)\rho(| \phi_i \rangle _A\otimes 1_B) \\ & \qquad -E_i^A(\langle \phi_i|_A\otimes 1_B)\rho(| \phi_i \rangle _A\otimes 1_B)\underbrace{( 1_A \otimes H_B)}_\text{abuse of notation} \\ & =\left[H_B, \sum_iE_i^A(\langle \phi_i|_A\otimes 1_B)\rho(| \phi_i \rangle _A\otimes 1_B)\right] \\ & = [H_B,\rho_B], \end{align}$ donde el abuso de notación es que la identidad ahora

1_{A} : H^{*} \to H^{*}

$1_A:\mathcal{H}^* \rightarrow \mathcal{H}^*$ y no

1_{A} : H \to H

$1_A:\mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ ,

| ϕ_{i} ⟩_{A}

$|\phi_i\rangle_A$ es el automercado de

H_{A}

$H_A$ con energía propia

E_{i}^{A}

$E_i^A$ y en la última línea redefiní la base de la traza parcial.

Este cálculo, si es correcto implica que $H_B$ es el hamiltoniano "reducido" en $B$ , ¿es esto correcto?

Para mí, esto no es trivial, ya que podría haber interacciones entre $A$ y $B$ (ni que importe por qué no me es baladí).

por simetría

\sum_{i} E_{i}^{A} ⟨ ϕ_{i} |_{A} ρ | ϕ_{i} ⟩_{A} \neq {T r}_{A} ρ

$\sum_i E_i^A \langle \phi_i |_A \rho |\phi_i \rangle_A \ne \mathrm{Tr}_A \rho$ . hay un extra

E^{A}

$E^A$ dentro de la suma.

j murray

Wiki relevante: Sistemas cuánticos abiertos

AmistosoLagrangiano

@BySymmetry ¿No puedes definir?

| {\tilde{ϕ}}_{i} ⟩_{A} := \sqrt{E_{i}^{A}} | ϕ_{i} ⟩_{A}

$| \tilde{\phi}_i \rangle_A := \sqrt{E_i^A}| \phi_i \rangle_A$ de modo que

\sum_{i} E_{i}^{A} ⟨ ϕ_{i} |_{A} ρ | ϕ_{i} ⟩_{A} = \sum_{i} ⟨ {\tilde{ϕ}}_{i} |_{A} ρ | {\tilde{ϕ}}_{i} ⟩_{A} = {Tr}_{A} ρ

$\sum_i E_i^A \langle \phi_i |_A \rho |\phi_i \rangle_A = \sum_i \langle \tilde{\phi}_i |_A \rho | \tilde{\phi}_i \rangle_A = \text{Tr}_A \rho$ ?

j murray

^La traza se toma con respecto a una base ortonormal, por lo que no. Los factores de

E_{i}

$E_i$ deja claro que la suma que has escrito no es el rastro de

A

$A$ , por lo que ciertamente no debería poder barrer eso debajo de la alfombra con manipulación algebraica, ¿verdad?

AmistosoLagrangiano

Pensé que la huella era invariante bajo cualquier cambio de base por la propiedad cíclica de la huella, ¿qué me estoy perdiendo?

AmistosoLagrangiano

Dado que mi argumento anterior es incorrecto, ¿cuál debería ser el equivalente de un hamiltoniano "reducido"?

j murray

La traza es invariable, pero esa fórmula no lo es. Nota para un cambio general de base

| ϕ ⟩ \mapsto P | ϕ ⟩

$|\phi\rangle \mapsto P|\phi\rangle$ y

A \mapsto P A P^{- 1}

$A\mapsto PAP^{-1}$ , tenemos

\sum ⟨ ϕ_{i} | A | ϕ_{i} ⟩ \mapsto \sum ⟨ ϕ_{i} | P^{†} (P A P^{- 1}) P | ϕ_{i} ⟩ \neq \sum ⟨ ϕ_{i} | A | ϕ_{i} ⟩

$\sum \langle \phi_i|A|\phi_i\rangle \mapsto \sum \langle \phi_i|P^\dagger \big(P A P^{-1}\big)P|\phi_i\rangle \neq \sum \langle\phi_i|A|\phi_i\rangle$ a menos que

P

$P$ es unitario. Desafortunadamente, no me siento lo suficientemente cómodo con los sistemas cuánticos abiertos para dar una buena respuesta aquí, pero en general la evolución de

ρ_{B}

$\rho_B$ será no unitario y se verá muy diferente; consulte el enlace que publiqué anteriormente.

AmistosoLagrangiano

Encontré la siguiente referencia muy útil: MIT Open Quantum Systems

Respuestas (1)

¿Existe la noción de un hamiltoniano "reducido"?

$\sum_i E_i^A \langle \phi_i |_A \rho |\phi_i \rangle_A \ne \mathrm{Tr}_A \rho$ . hay un extra $E^A$ dentro de la suma.
@BySymmetry ¿No puedes definir? $| \tilde{\phi}_i \rangle_A := \sqrt{E_i^A}| \phi_i \rangle_A$ de modo que $\sum_i E_i^A \langle \phi_i |_A \rho |\phi_i \rangle_A = \sum_i \langle \tilde{\phi}_i |_A \rho | \tilde{\phi}_i \rangle_A = \text{Tr}_A \rho$ ?
^La traza se toma con respecto a una base ortonormal, por lo que no. Los factores de $E_i$ deja claro que la suma que has escrito no es el rastro de $A$ , por lo que ciertamente no debería poder barrer eso debajo de la alfombra con manipulación algebraica, ¿verdad?
Pensé que la huella era invariante bajo cualquier cambio de base por la propiedad cíclica de la huella, ¿qué me estoy perdiendo?
Dado que mi argumento anterior es incorrecto, ¿cuál debería ser el equivalente de un hamiltoniano "reducido"?
La traza es invariable, pero esa fórmula no lo es. Nota para un cambio general de base $|\phi\rangle \mapsto P|\phi\rangle$ y $A\mapsto PAP^{-1}$ , tenemos $\sum \langle \phi_i|A|\phi_i\rangle \mapsto \sum \langle \phi_i|P^\dagger \big(P A P^{-1}\big)P|\phi_i\rangle \neq \sum \langle\phi_i|A|\phi_i\rangle$ a menos que $P$ es unitario. Desafortunadamente, no me siento lo suficientemente cómodo con los sistemas cuánticos abiertos para dar una buena respuesta aquí, pero en general la evolución de $\rho_B$ será no unitario y se verá muy diferente; consulte el enlace que publiqué anteriormente.
Encontré la siguiente referencia muy útil: MIT Open Quantum Systems

por simetría · Answer 1

Como se discutió en los comentarios, el problema con lo que ha escrito es que no hay un cambio de base tal que

\sum_{i} {mi}_{i}^{A} ⟨ ϕ_{i} |_{A} ρ | ϕ_{i} ⟩_{A} = {T r}_{A} ρ

$\sum_i E_i^A \langle\phi_i|_A \rho |\phi_i\rangle_A = \mathrm{Tr}_A \rho$

De manera más general, el problema con la noción de un hamiltoniano reducido es que el sistema reducido en un momento dado normalmente no contiene suficiente información para reproducir la dinámica futura del sistema. Si no sé qué está haciendo la parte que he trazado, no puedo predecir qué efecto tendrá en lo que queda.

La consecuencia más simple esto puede tener una pérdida unitaria en la evolución del tiempo. A medida que la información sobre el sistema se pierde en su entorno, la matriz de densidad reducida generalmente se vuelve más mezclada y menos pura con el tiempo. Esto no se puede modelar con un verdadero hamiltoniano, pero se puede modelar con formalismo como la ecuación maestra de Lindblad (en la que Louvillian juega un papel análogo al hamiltoniano) o la mecánica cuántica no hermitiana . Ambos enfoques, sin embargo, se basan en lo que se conoce como la aproximación de Markov. Cuando la información sobre el sistema se pasa a su entorno, se devuelve inmediatamente o simplemente se pierde. Nunca podemos enviar una 'señal' y algún tiempo después escuchar un 'eco'. Esta pérdida de información conduce a la dinámica no unitaria.

Hay algunos métodos que pretenden ir más allá de la aproximación de Markov, como la ecuación de Nakajima-Zwanzig o el enfoque funcional de influencia de Feynmann-Vernon. Estos métodos generalmente involucran no solo la matriz de densidad instantánea, sino alguna forma de integral sobre la historia pasada del sistema. Si conocemos el estado inicial del entorno y todas nuestras interacciones pasadas con él, podemos reconstruir su estado actual y así calcular, con exactitud, la dinámica futura. Dado que las ecuaciones de movimiento en estos formalismos son no locales en el tiempo, realmente no hay nada que se asemeje tanto a un hamiltoniano.

Ahora veo la inexistencia de tal transformación. Así que todo lo que podemos decir, si es que hay algo, es que $i \frac{d}{d t} ρ_{B} = [H_{B}, \sum_{i} {mi}_{i}^{A} (⟨ ϕ_{i} |_{A} \otimes 1_{B}) ρ (| ϕ_{i} ⟩_{A} \otimes 1_{B})],$ $i\frac{d}{dt} \rho_B =\left[H_B, \sum_iE_i^A(\langle \phi_i|_A\otimes 1_B)\rho(| \phi_i \rangle _A\otimes 1_B)\right],$ lo que sea que eso pueda significar. Estoy completamente de acuerdo con tu intuición detrás de que la falta de información implica que un hamiltoniano "reducido" no existe en general (por eso me sorprendió y hice esta pregunta :)). Pensaré en el resto de su respuesta y revisaré la literatura que menciona. ¡Muchas gracias por su tiempo y paciencia!

¿Existe la noción de un hamiltoniano "reducido"?

AmistosoLagrangiano

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j murray

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