Colapso estatal en el cuadro de Heisenberg

Bueno, creo que usted mismo dijo la respuesta cuando usó las palabras "operador de proyección". En la imagen de Heisenberg, los operadores se proyectan hacia un subespacio en el momento del colapso. En otras palabras, el operador 'colapsa' al recoger una pieza de proyección que mata la parte no física del estado.

Olvídate de las imágenes por un segundo, lo físico es el elemento matriz completo

$$\begin{equation} \langle \psi,t_1 | U(t_1,t_2) \mathcal{O}(t_2) U(t_2,t_1) | \psi,t_1 \rangle \end{equation}$$

El conocimiento del hamiltoniano está enterrado dentro del operador de evolución temporal.$U$.

La imagen de Schrödinger equivale a agrupar los$U$con el estado para que$|\psi(t)\rangle =U(t,t_*)|\psi(t_*)\rangle$, el cuadro de Heisenberg equivale a agrupar los$U$con el operador para que$\mathcal{O}(t)=U(t,t_*)\mathcal{O}(t_*)U(t_*,t)$. Esto es claramente una división artificial y nada puede depender nunca de tu elección de imagen: si expresas las cosas en términos del elemento completo de la matriz, la diferencia entre las imágenes siempre equivale a una forma diferente de agrupar los términos.

¿Cómo describimos el colapso? Hay un tiempo especial$t_c$, el tiempo de colapso, en el que sucede algo no unitario. no podemos usar$U$evolucionar pasado$t_c$.

O en otras palabras, la relación

$$\begin{equation} U(t_2,t_1)=U(t_2,t_c)U(t_c,t_1) \end{equation}$$ ya no es cierto para $t_2>t_c>t_1$. Necesitamos incluir un operador de proyección, como dijiste en tu pregunta: $$\begin{equation} U(t_2,t_1)=U(t_2,t_c)N_c P_c U(t_c,t_1) \end{equation}$$ dónde $P_c$es el operador que nos proyecta hacia abajo en el subespacio colapsado, y donde $N_c$es un factor de normalización para que el estado se normalice correctamente después del colapso. El operador de proyección será hermético y satisfará $P_c^2=P_c$, aunque el operador completo que se está aplicando en $t_c$, es decir, la combinación $N_c P_c$, no es un operador de proyección.

Entonces, digamos que queremos evaluar el elemento de la matriz física, tenemos que incluir este operador de proyección

$$\begin{equation} \langle \psi,t_1 | U(t_1,t_c) N_c^* P_c U(t_c,t_2) \mathcal{O}(t_2) U(t_2,t_c) N_c P_c U(t_c,t_1) | \psi,t_1 \rangle \end{equation}$$

Así que de nuevo tenemos la opción de cómo agrupamos las cosas. Podríamos agrupar las cosas a la manera de Schrödinger de modo que

$$\begin{array} \ |\psi(t_c+\epsilon)\rangle &=& N_c U(t_c+\epsilon,t_c)P_c U(t_c,t_1)|\psi,t_1\rangle \\ & =& N_c P_c |\psi,t_c\rangle + O(\epsilon) \end{array}$$

Este es el 'colapso del estado'. A$t_c$el estado cambia para que se proyecte hacia abajo en un subespacio.

O bien, podríamos agrupar las cosas a la manera de Heisenberg, de modo que

$$\begin{array} \ \mathcal{O}(t_c+\epsilon) &=& U(t_c+\epsilon,t_c) N_c^* P_c U(t_c,t_1) \mathcal{O(t_1)} U(t_1,t_c)N_c P_c U(t_c,t_c+\epsilon)\\ &=& |N_c|^2 P_c \mathcal{O}(t_c) P_c + O(\epsilon) \end{array}$$

Este es "el operador que se proyecta en un subespacio". El estado es el mismo, pero el operador ahora incluye una pieza de proyección que cancela la parte del estado que ya no es físico.

EDICIÓN # 1: Anteriormente dije$U(t_2,t_1)=U(t_2,t_c)P_c U(t_c,t_1)$, lo cual es incorrecto. El punto básico sigue en pie, pero las matemáticas eran técnicamente incorrectas.

¡Vaya! Tenía razón la primera vez. Gracias a Bruce Connor por hacerme repensar este punto. Estaba confundido porque pensé que quería la regla de transformación.$P_c U P_c$, que es como proyectarías el operador de evolución temporal al subespacio colapsado. Pero eso no es lo que queremos aquí: el operador de evolución temporal es especial. El punto es que proyectas hacia abajo al subespacio (digamos un estado propio de posición) en$t_c$, luego evolucionas normalmente desde allí. En particular, se le permite evolucionar fuera del subespacio. Por ejemplo, después de observar una partícula en la posición$x$a la partícula se le permite desarrollar una probabilidad de estar en$x'$. No quieres forzar la evolución para permanecer en el subespacio, eso es lo que el segundo$P_c$habría hecho.

EDICIÓN # 2: Perdón por todas las ediciones, esto es un poco más sutil para hacerlo exactamente bien de lo que pensé originalmente. No solo está proyectando el estado a un subespacio, está proyectando el estado y luego reescalándolo para que tenga la normalización correcta.

Creo que has malinterpretado la imagen de Schrödinger. Las imágenes de Schrödinger y Heisenberg son teorías físicas que hacen predicciones comprobables, son estrictamente matemáticamente equivalentes entre sí y son unitarias. Ninguna teoría dice nada sobre el colapso de la función de onda.

El colapso (de la función de onda o de un operador) es una característica de una interpretación particular de la mecánica cuántica (la interpretación de Copenhague, CI). El IC, como otras interpretaciones de la mecánica cuántica, no es una teoría física y no hace predicciones comprobables. El IC no está relacionado con ninguna imagen particular de la mecánica cuántica.

Entre la imagen de Schrödinger y la de Heisenberg, esta última es la que está más directamente relacionada con la dinámica en la forma en que está acostumbrado a verla, con las ecuaciones dinámicas que gobiernan las diversas cantidades; ya sean ecuaciones diferenciales ordinarias de movimiento o ecuaciones diferenciales parciales para campos. En la teoría cuántica, en la Imagen de Heisenberg, esas mismas ecuaciones son válidas para las versiones cuantizadas de las mismas, hasta la ambigüedad del orden del operador, mientras que el estado se convierte en una denotación atemporal de toda una historia, en lugar de la de un sistema y su progresión en el tiempo. .

Para responder a su pregunta de la manera más directa posible, primero es necesario aclarar que el vector de función de onda |ψ> no es el estado, sino que se considera mejor como una "raíz cuadrada" del estado. Entre otros problemas, tiene ambigüedad tanto de fase como de normalización: diferentes cambios de escala distintos de cero y diferentes fases producen el mismo estado. La mejor manera de manejar eso y eliminar la ambigüedad es referirse, en cambio, a W = |ψ><ψ|/<ψ|ψ> como el estado.

Estos son estados puros. Una mezcla de tales estados correspondientes a vectores ortogonales entre sí, con coeficientes de mezcla no negativos que suman 1 le da un estado mixto. Se pueden contemplar estados mixtos más generales que son combinaciones lineales continuas de estados puros, en lugar de sumas discretas. Ejemplo: W _C = p |0><0| + q |1><1| es un bit clásico (un estado mixto), mientras que W _Q = (√p |0> + √q exp(iφ) |1>)(√p <0| + √q exp(iφ) <1|) = W _C + √(pq) (exp(iφ) |0><1| + exp(-iφ) |1><0|) es un bit cuántico, que es un estado puro. El estado ½ W _C + ½ W _Q sería entonces 50% puro; por lo que la pureza puede variar de 0 a 100%.

Una cantidad física A, cuando se cuantifica, se convierte en un operador  que tiene una descomposición de la forma  = Σ _a a P _a , en una combinación lineal de operadores de proyección P _a y valores propios a. El efecto de la proyección P _a |ψ> es reducir |ψ> a la suma de sus componentes a-eigenvector solamente; poniendo a cero todos los demás vectores propios: proyecta |ψ> hasta el espacio propio del valor (a) para el operador Â. Dado que los subespacios propios abarcan todo el espacio para |ψ>, también se supone que las proyecciones suman 1: Σ _a P _a = 1.

Se pueden considerar operadores más generales que tienen espectros que son continuos o mixtos continuo/discreto. Considerarlos aquí no arrojará ninguna luz, así que me limitaré al caso más simple de espectros discretos solamente.

La regla de Born dice que el resultado de aplicar la medida para la cantidad A es un evento cuántico que reduce el estado |ψ> al estado P _a |ψ> con probabilidad |P _a |ψ>| ² /<ψ|ψ> y que el valor medido por el evento es (a).

Cuando se reformula, la regla afirma que el estado W = |ψ><ψ|/<ψ|ψ> se convierte en P _a |ψ><ψ|P _a ^† /<ψ|P _a ^† P _a |ψ> = P _a |ψ><ψ|P _a /<ψ|P _a |ψ> ... siendo aplicable la última igualdad ya que P _a ^† = P _a = P _a ² para operadores de proyección. Establece que esto sucede con probabilidad |P _a |ψ>| ² /<ψ|ψ> = <ψ|P _a |ψ>/<ψ|ψ>.

Introduciendo el operador "traza", definiéndolo por la propiedad Tr(A|ψ><ψ|B) = <ψ|BA|ψ>, entonces la reducción anterior se puede reformular como W → P _a WP _a /Tr(WP _a ) con probabilidad Tr(WP _a ).

Hay dos formas de tratar esto, dependiendo de lo que consideres que representa un estado mixto. Si un estado mixto W = p W₀ + q W₁ (p,q ≥ 0, p + q = 1) representa "W₀ con probabilidad p, W₁ con probabilidad q" (aplicado recursivamente a W₀ y W₁ si también son estados mixtos ) entonces toda la reducción en sí se puede resumir sucintamente como: W → W _A ≡ Σ _a Tr(WP _a ) × P _a WP _a /Tr(WP _a ) = Σ _a P _a WP _a .

Así, cada evento cuántico produce un cambio de la forma W → W _A = Σ _a P _a WP _a , donde A es la cantidad correspondiente que está siendo medida por ese evento.

Tenga en cuenta que esto se normaliza correctamente ya que Tr(W _A ) = Σ _a Tr(WP _a ) = Tr(W Σ _a P _a ) = Tr(W) = 1.

La otra forma de considerar un estado mixto como una cosa por derecho propio, de modo que la transición tiene dos pasos: el primero produce el estado mixto en sí mismo y el segundo produce uno de sus componentes de estado puro con la probabilidad asociada. Personalmente, creo que esa forma de verlo introduce una redundancia innecesaria, por lo que me quedaré con la primera interpretación.

Si se realiza una medición posterior de una segunda cantidad C cuya forma cuantificada Ĉ se descompone en Ĉ = Σ _c P' _c , entonces el resultado será una reducción al estado W _A → W _AC = Σ _c P' _c W _A P' _c = Σ _un,c PAGS' _C PAGS _un WP _un PAGS' _C .

Esto se puede concluir introduciendo el pseudo-operador de ordenamiento temporal T[] y su dual T'[], definido con las propiedades T[UV] = UV si U ocurre antes que V, VU si V ocurre después de U; y T'[UV] = UV si U ocurre después de V, T'[UV] = VU si U ocurre antes que V. Entonces, puedes escribir la reducción como W → W _AC = Σ _a,c T'[P _a P ' _c ] WT[P _a P' _c ].

La generalización a más de 2 eventos cuánticos ya debería ser bastante obvia.

Cuando esto se generaliza a la teoría de campos, cada operador ya no está asociado con un tiempo específico, sino con un punto espacio-temporal específico. La regla de Born se aplica entonces a un conjunto finito de eventos cuánticos situados sobre una nube de puntos en una región compacta del espacio-tiempo. Si los eventos corresponden a las medidas de A = A ₁ , A ₂ , ..., A _n , entonces la transición es W → W _A = Σ _a T'[P _a ] ​​WT[P _a ], donde estoy escribiendo las proyecciones de forma más concisa como P _a = P _{a 1} ... P _{a n} .

En efecto, la regla de Born introduce una evolución espacio-temporal del estado, aunque el tiempo se elimina de la imagen al hacer que los operadores (en lugar de los vectores de onda) sean dinámicos. Si trata todo el espacio-tiempo como si estuviera poblado por una nube de puntos (posiblemente infinita), cada punto asociado con un evento cuántico, entonces cada estado W se asociará con una partición de esta nube de puntos en un "conjunto anterior" y " after set", con la propiedad de que ninguno de los puntos en el after set puede tener una curva nula o similar al tiempo futuro que conduzca a cualquiera de los puntos en el "before set". Los del conjunto anterior son aquellos para los que se puede considerar que ya han sufrido una reducción de Born, mientras que los del conjunto posterior son aquellos para los que no ha sufrido dicha reducción.

Entonces se puede definir una evolución efectiva de Born que produce una transición desde dos estados cualesquiera cuyas particiones concuerden en todos menos en un número finito de puntos en la nube de puntos, siempre que el conjunto anterior de un estado (el estado "posterior") contenga el anterior conjunto del otro estado (el estado "anterior"). Luego se aplica la regla de Born tomando los eventos cuánticos (y sus operadores asociados) en los que los dos estados no están de acuerdo en estar antes o después. Luego, la transición va del estado anterior al estado posterior aplicando la reducción que se acaba de describir.

Entonces, en total: esto es lo más cerca que se llega a una traducción directa de la Regla de Born de la Imagen de Schrödinger a la Imagen de Heisenberg. El formalismo al que más se parece es lo que se conoce como Historias consistentes ( https://en.wikipedia.org/wiki/Consistent_histories ); cuya matemática es similar. Por lo tanto, es posible que pueda canibalizar algunas de sus fórmulas y aplicarlas aquí, después de eliminar toda la letra pequeña adicional que les adjuntan.

Una referencia relacionada interesante que encontré unos días antes de esto https://arxiv.org/pdf/1308.5290.pdf trata la regla de Born de manera similar, pero también trae los POVM a la imagen. Las secciones 3 y 6 son donde se tratan los temas.

En la imagen de Heisenberg, la descripción correcta de un proceso disipativo (del cual el colapso es solo el modelo más simple) es a través de un proceso estocástico cuántico. Existe una extensa literatura al respecto. Adecuadamente diseñados, estos procesos preservan las relaciones de conmutación entre observables clave durante la evolución temporal, lo cual es un requisito esencial de consistencia.

Tenga en cuenta que el colapso es una descripción muy simplificada de un proceso de medición y que la mayoría de las mediciones no están bien descritas por él. Para un modelado más realista, generalmente se emplea una representación de matriz de densidad (von Neumann) y se describe la evolución en términos de una ecuación de Lindblad. Para el análogo en la imagen de Heisenberg, ver. por ejemplo, un artículo de Accardi et al., Una regla de oro estocástica y la ecuación cuántica de Langevin para el límite de baja densidad .

Como usted dice, en la imagen de Heisenberg, los operadores evolucionan y, por lo tanto, sus vectores propios y valores propios también evolucionan. Pero el procedimiento básico de cómo se realiza una medición (de von Neumann) sigue siendo el mismo que en la imagen de Schroedinger. Las probabilidades de medir un valor particular del observable (que debe ser un valor propio del operador) vienen dadas por la proyección del vector de estado (ahora constante) sobre el vector propio (ahora en evolución).

En resumen, ambas imágenes tienen ambos conceptos. La diferencia es solo qué parte de la proyección, el vector propio o el estado, cambia con el tiempo.

En la representación de Schrodinger, el "pseudo-colapso" es:

$$\sum_i~ a_i|\psi_i(t)\rangle \rightarrow ~~|\psi_o(t)\rangle$$

En la representación de Heisenberg, el "pseudo-colapso" es:

$$\sum_i~ a_i|\psi_i\rangle \rightarrow ~~|\psi_o\rangle$$