Relación de simetría conforme y tensor de momento de energía sin rastro

Tenga en cuenta que bajo un cambio infinitesimal en la métrica de la forma$g \to g + \delta g$la acción cambia a

$$\delta S = \int T^{ab} \delta g_{ab}$$ Ahora, bajo las transformaciones de Weyl tenemos $$g_{ab} \to e^{2\omega} g_{ab} \qquad \implies \qquad \delta g_{ab} = 2 \omega g_{ab}$$ Para transformaciones de Weyl $\omega$es completamente arbitrario. Si consideramos una transformación conforme entonces, la métrica también se transforma como arriba excepto que $\omega = \frac{1}{d} \nabla_a \xi^a$dónde $\xi^a$es un vector de muerte conforme, es decir $\omega$toma una forma funcional específica.

De cualquier manera, tanto para transformaciones conformes como de Weyl$\delta g_{ab} =2\omega g_{ab}$. Por lo tanto, para cualquiera de estas transformaciones, la variación en la métrica es

$$\delta S = 2 \int \omega T$$ Por lo tanto, si el rastro del tensor de momento de energía desaparece, $T = 0$, entonces $$\delta S = 0$$ ¡y tenemos una simetría de nuestra teoría!

DE ACUERDO. Así que hemos demostrado que si$T = 0$, entonces la teoría es invariante bajo Weyl y transformaciones conformes. ¿Qué pasa con la declaración inversa? ¿Podemos inferir de Weyl y de la invariancia conforme que$T = 0$? Esta última es una pregunta más sutil.

Weyl o invariancia conforme implica

$$\int \omega T = 0$$ Ahora, cuando se habla de la invariancia de Weyl, lo anterior es cierto para arbitraria $\omega$. En este caso, podemos concluir con toda certeza que $T = 0$(por ejemplo tomar $\omega \propto \delta^4(x)$o alguna versión suavizada de la misma e inmediatamente llegamos a esta conclusión.

Cuando se habla de invariancia conforme,$\omega$no es arbitrario y no podemos concluir que$T$debe desaparecer Por ejemplo, en un fondo plano,$\omega$toma la forma$\lambda + a_\mu x^\mu$dónde$\lambda$y$a_\mu$son constantes arbitrarias. Por lo tanto, todo lo que podemos concluir es que debemos tener

$$\int T = 0 ~, \qquad \int x^\mu T = 0$$ Estas dos condiciones ya no implican que $T = 0$. Por lo tanto, según este argumento, la declaración inversa no es necesariamente cierta en las teorías de campo conforme. No estoy seguro de si hay algún otro argumento que pueda usarse para justificar eso. $T$debe desaparecer en CFT, pero hasta ahora, todos los CFT que estudiamos tienen $T = 0$.