¿Por qué la función de Weierstrass ∑∞n=0ancos(bnπx)∑n=0∞ancos⁡(bnπx)\sum_{n=0}^\infty a^n \cos(b^n\pi x) no es diferenciable?

Nada nos impide tomar la derivada de cualquier suma parcial finita de esta serie. Este es un polinomio trigonométrico y tiene derivadas de todos los órdenes.

Sin embargo, esta suma infinita representa el límite puntual de tales polinomios trigonométricos. Un límite puntual de funciones diferenciables no tiene obligación de ser diferenciable.

Por otro lado, el mero hecho de que esta función sea una suma infinita no implica automáticamente que no sea diferenciable en ninguna parte. Una serie infinita de potencias o una serie trigonométrica infinita puede ser diferenciable en todas partes, diferenciable en ninguna parte o diferenciable en algunos lugares y no en otros.

Para comprobar si una función es diferenciable en un punto$x_0$, debe determinar si el límite$\lim_{h\to 0}(f(x_0+h)-f(x_0))/h$existe Si no es así, la función no es diferenciable en$x_0$.

Hay varios teoremas que nos ayudan a eludir la necesidad de hacer esto directamente. Por ejemplo, podemos mostrar que la composición de funciones diferenciables es diferenciable y que varias funciones elementales son diferenciables en todas partes, lo que nos permite concluir que cosas como$\cos(17x^2)-e^x$son diferenciables en todas partes.

Uno de estos atajos se aplica cuando tienes sumas infinitas con derivadas uniformemente convergentes . Este resultado muy importante nos permite concluir que muchas funciones definidas por series infinitas sí tienen derivadas, y esas derivadas son lo que cabría esperar. Pero esto no se aplica aquí, ya que esta suma no tiene derivadas uniformemente convergentes.

Y una vez más, este hecho por sí solo no es suficiente para mostrar que la función no es diferenciable en ninguna parte. Para demostrar eso, debe arremangarse y resolver las desigualdades que se aplican en todas partes y evitar que exista el límite anterior. Esto se hace con cuidado aquí , por ejemplo.

Como han señalado otras respuestas, mientras que las sumas parciales de la función convergen, las sumas parciales de las derivadas no lo hacen. Para ver esto, solo hice un cálculo rápido. Dejar$f_m(x)$ser las sumas parciales,

Veamos la convergencia en algunos puntos seleccionados, elegidos arbitrariamente

Vemos que converge con bastante rapidez a los valores asintóticos. Tomando estos mismos puntos, veamos la convergencia de la primera derivada,$f'_m(x)$. Voy a trazar el valor absoluto para que pueda ver lo que está pasando (observe la escala logarítmica en el eje vertical)

¡Claramente las sumas parciales de las primeras derivadas no convergen! De hecho, divergen exponencialmente rápido.

Para calcular la derivada de una función en un punto dado (ej.$x=0$), solo necesita seguir haciendo zoom en este punto hasta que la curva se suavice:

Oh espera...

No es que sea una suma infinita, cualquier función analítica puede escribirse como una suma infinita por definición y es diferenciable.

El problema es que la función tiene la naturaleza de un fractal, en cada nivel de zoom continúa teniendo cambios bruscos de dirección. Así que sí, en cualquier nivel finito puedes tomar una derivada en la mayoría de los puntos, porque un nivel finito no tiene el zoom infinito que evita que exista una derivada local.

Recuerde, la derivada es una existencia local de un límite,$f(x)$es diferenciable en$a$si por algún pequeño barrio alrededor$a$,

permanece cerca de un valor. Pero esta función obtendrá todos los diferentes tipos de pendientes en cualquier vecindario diminuto... solo tiene que acercarse lo suficiente para ver el comportamiento irregular.

Mientras que otros han dado respuestas diciendo que un límite puntual de funciones diferenciables no necesita ser diferenciable, aquí hay un ejemplo simple que explica por qué eso es cierto .
Se puede encontrar un límite de funciones suaves que convergen a la función de valor absoluto que no es diferenciable en$0$, como lo muestra la siguiente imagen:

El valor de una serie infinita se define como el límite de los valores de sus sumas parciales:

Vamos a hacer eso. elijamos$a = 1/2$y$b = 13$(el entero impar más pequeño que satisface$ab > 1 + \frac{3}{2}\pi$). (Aparte: la imagen en su pregunta tiene$a = 1/2$,$b = 3$, también lo es una imagen de una función demasiado mansa.) Definamos

Antes de ir a las imágenes, tomemos un segundo para ver lo que ya está presente. En$W_N$, el coeficiente de la función trigonométrica es$(1/2)^n$. Desde$0 < a < 1$, poderes sucesivos de$a$hacerse más pequeño: los cosenos sucesivos se mezclan con amplitudes cada vez más pequeñas. Cada vez que incrementamos$N$, el nuevo término queda empequeñecido por cada término anterior, por lo que es plausible que la función dada por la secuencia de sumas parciales se establezca en alguna función límite al hacer ajustes cada vez más pequeños a medida que agregamos más términos.

Sin embargo, los coeficientes de los senos en$W_N'$,$(13/2)^n\pi$, están aumentando más rápido que los poderes de$\left(1 + \frac{3}{2}\pi\right) = 5.7123{\dots}$. Esto significa que cada nueva sinusoide tiene una amplitud al menos 5 veces mayor (de hecho,$13/2$-veces mayor) que el anterior -- cada vez que incrementamos$N$, el nuevo término empequeñece la suma de todos los términos anteriores. esto significa que$W_N'$no te conformes con alguna función; en cambio, oscila con una amplitud y frecuencia rápidamente mayores, sin llegar a un límite.

Aquí está$W_5(x)$en$[-3/2,3/2]$y luego en$[0,1/25\,000]$(para mostrar la contribución del último término).

Ahora echemos un vistazo a$W_5'$en los mismos intervalos.

Vemos que las ondulaciones estrechas causadas por el quinto término de la serie están produciendo derivadas que se agitan desde$-40\,000$a$40\,000$en todas partes, con pequeñas variaciones de los términos anteriores.

Obtengamos las mismas cuatro imágenes para seis términos.

Para la función,$W_6(x)$, el sexto término ajustó los valores de la función por$\pm 0.02$o menos. Para la derivada, las ondas estrechas ahora hacen que la derivada se agite desde casi$-300\,000$a casi$300\,000$con muy alta frecuencia.

Y el patrón continúa a medida que tomamos más términos:$W_N$se aproxima a una función continua y$W_N'$se esfuerza cada vez más para que su gráfico pase por todos los puntos del plano.

El concepto básico utilizado en la construcción de la función de Weierstrass es que cuando tienes$\sum r^n$, esto converge para$|r|<1$y diverge por$|r|\ge1$. Entonces, si puede obtener una función que involucre$\sum r^n$con$|r|<1$, y cuya derivada aumenta$|r|$arriba$1$, entonces la derivada diverge.

Cuando tomamos la derivada de$a^n\cos(b^n\pi x)$, obtenemos$-a^nb^n\pi\sin(b^n\pi x)$, o$-(ab)^n\pi\sin(b^n\pi x)$. Así que antes de la derivada, nuestro$r$es$a$, pero después de la derivada es$ab$. Entonces, ignorando las funciones trigonométricas, si$|a|<1$y$|ab|\ge1$, la función converge y la derivada diverge. Las funciones trigonométricas lo complican un poco, haciéndonos necesitar$|ab|$ser mayor que$1+\frac 32 \pi$, pero la idea básica sobrevive.

El simple hecho de tener una función definida en términos de una serie infinita no significa que no podamos tomar la derivada, simplemente introduce el problema de que la derivada podría no converger. Hay muchas de estas funciones de las que podemos derivar; si ha visto las series de Taylor o Fourier, verá muchos ejemplos de funciones con derivadas bien definidas. Por ejemplo, la derivada de$e^{2x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2x)^n}{n!}$es$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2(2x)^n}{n!}=2e^{2x}$.

Si toma la derivada de una onda de diente de sierra , obtiene una onda cuadrada . Ambas ondas tienen series de Fourier, pero la serie de Fourier para la onda cuadrada tiene discontinuidades repetidas. Cada una de estas discontinuidades son solo puntos, y la derivada todavía está bien definida en los intervalos entre ellos. Puedes pensar en la función de Weierstrass como si fuera similar a la suma de un número infinito de ondas de diente de sierra, de modo que cada intervalo, por pequeño que sea, contiene un punto donde al menos una de las ondas de diente de sierra tiene una derivada que no converge. , y por lo tanto la derivada no existe en ninguna parte.